4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке.
Мы закончим обсуждение понятия дифференцируемости функции в точке указанием на взаимоотношения между непрерывностью функции в точке, наличием у нее частных производных в точке и дифференцируемостью ее в этой точке.
В § 1 (соотношения (17) и (18)) мы установили, что если 
— линейное отображение, то 
при 
Таким образом, из соотношения (1) можнв заключить, что функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке, поскольку
Обратное, конечно, не верно потому, что, как нам известно, это не верно уже в одномерном случае.
Таким образом, взаимоотношение непрерывности и дифференцируемости функции в точке в многомерном случае такое же, как и в одномерном.
Совсем иначе обстоит дело во взаимоотношениях частных производных и дифференциала. В одномерном случае, т. е. в случае вещественнозначной функции одного вещественного переменного, наличие дифференциала и наличие производной у функции в точке были условиями равносильными. Для функций многих переменных мы показали (утверждение 2), что дифференцируемость функции во внутренней точке области определения обеспечивает существование у нее частных производных по каждой переменной в этой точке. Однако обратное утверждение уже не имеет места.
Пример 5. Функция
равна нулю на осях координат и потому имеет в точке (0,0) обе частные производные:
Вместе с тем эта функция не дифференцируема в точке (0,0), поскольку она, очевидно, разрывна в этой точке.
Приведенная в примере 1 функция не имеет одной из частных производных в точках осей координат, отличных от точки (0,0). Однако функция
(которая нам встречалась в примере 2 из § 2 гл. VII), уже во всех точках плоскости 
имеет частные производные, однако она тоже разрывна в начале координат и потому не дифференцируема в точке (0,0).
Таким образом, возможность написать правую часть равенств (7), (8) еще не гарантирует того, что это будет дифференциал нашей функции, поскольку функция может оказаться не дифференцируемой.
Это обстоятельство могло бы стать серьезной помехой всему дифференциальному исчислению функций многих переменных, если бы не выяснилось (это будет доказано позже), что непрерывности частных производных в точке достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.
