§ 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных

1. Теорема о среднем

Теорема 1. Пусть — вещественнозначная функция, определенная в области Пусть отрезок с концами содержится в Если при этих условиях функция непрерывна в точках отрезка и дифференцируема в точках интервала то найдется такая точка что имеет место равенство

Рассмотрим вспомогательную функцию

определенную на отрезке Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа: она непрерывна на [0,1], как композиция непрерывных отображений, и дифференцируема в интервале как композиция дифференцируемых отображений. Следовательно, найдется точка в такая, что

Но и, значит, выделенное равенство совпадает с утверждением теоремы 1.

Приведем теперь координатную форму записи соотношения (1).

Если то равенство (1) означает, что

Используя соглашение о суммировании по повторяющемуся сверху и снизу индексу, окончательно можно записать

где причем в зависит и от и от

Замечание. Теорема 1 называется теоремой о среднем в связи с тем, что существует некоторая «средняя» точка в которой выполняется равенство (1). Мы уже отмечали при обсуждении теоремы Лагранжа (см. гл. что теорема о среднем специфична именно для вещественнозначных функций. Общая теорема о конечном приращении для отображений будет доказана в главе X (часть II).

Из теоремы 1 вытекает полезное

Следствие. Если функция дифференцируема в области и в любой точке ее дифференциал равен нулю, то постоянна в области

Равенство нулю линейного отображения равносильно обращению в нуль всех элементов отвечающей ему матрицы. В нашем случае

поэтому в любой точке

По определению, область есть открытое связное множество. Воспользуемся этим.

Покажем сначала, что если то в шаре функция постоянна. Действительно, если то и Если Применяя соотношение (1) или получаем

и значения в шаре совпадают со значением в центре этого шара.

Пусть теперь произвольные точки области В силу связности найдется путь такой, что Мы предполагаем, что непрерывное отображение определено на отрезке Пусть — шар с центром в содержащийся в Поскольку и отображение непрерывно, найдется положительное число 6 такое, что Если при Тогда по доказанному на промежутке [0,b].

Пусть где верхняя грань берется по всем числам таким, что о на промежутке В силу непрерывности функции имеем Но тогда Действительно, в противном случае можно было бы взять некоторый шар в котором затем в силу непрерывности отображения найти так, что при Тогда при

Итак, показано, что при любом частности, и мы проверили, что в любых двух точках значения функции совпадают.