Пример 3. Покажем, что если 
то 
Пример 4. Если 
Доказательство аналогично разобранным в примерах 1 и 3.
Пример 5. Мгновенная скорость и ускорение материальной точки. Пусть материальная точка движется в плоскости и в фиксированной системе координат закон ее движения описывается дифференцируемыми функциями от времени
или, что то же самое, вектором
Как мы выяснили в пункте 1 настоящего параграфа, скорость точки в момент 
есть вектор
где 
— производные функций 
по времени 
Ускорение 
есть скорость изменения вектора 
поэтому
где 
— производные 
функций 
или так называемые вторые производные функций 
Таким образом, по смыслу физической задачи функции 
описывающие движение материальной точки, должны иметь и первые и вторые производные.
Рассмотрим, в частности, равномерное движение точки по окружности радиуса 
Пусть 
— угловая скорость точки, т. е. величина центрального угла, на который перемещается точка за единицу времени.
В декартовых координатах (в силу определений функций 
, 
это движение запишется в виде
а если 
, то в виде
Без ограничения общности дальнейших выводов и для сокращения записи будем считать, что 
Тогда в силу результатов примеров 3 и 4
Из подсчета скалярного произведения
как и следовало в этом случае ожидать, получаем, что вектор 
скорости ортогонален радиус-вектору 
и направлен по касательной к окружности. Далее, для ускорения имеем
т. е. 
и ускорение, таким образом, действительно центростремительное, ибо имеет направление, противоположное направлению вектора 
Далее,
где 
Подсчитаем, исходя из этих формул, например, величину скорости низкого спутника Земли. В этом случае 
совпадает с радиусом Земли, т. е. 
км, а 
где 
— ускорение свободного падения у поверхности Земли.
Таким образом, 
Пример 6. Оптическое свойство параболического зеркала. Рассмотрим (рис. 16) параболу 
и построим касательную к ней в точке 
Поскольку 
Значит, искомая касательная имеет уравнение
или
где 
Рис. 16
Рис. 17
Вектор 
как видно из последнего уравнения, ортогонален прямой (25). Покажем, что векторы 
образуют с 
равные углы. Вектор 
есть единичный вектор направления оси 
— вектор, направленный из точки касания 
— фокус параболы. Итак,
Таким образом, показано, что волновой источник, помещенный в точке 
— в фокусе параболического зеркала, даст пучок, параллельный оси 
зеркала, а приходящий параллельно оси 
пучок зеркало пропустит через фокус (см. рис. 16).
Пример 7. Этим примером мы покажем, что касательная является всего-навсего лучшим линейным приближением графика функции в окрестности точки касания и вовсе не обязана иметь с ним единственную общую точку, как это было в случае окружности и как это вообще имеет место в случае выпуклых кривых. (О выпуклых кривых будет специальный разговор.)
Пусть функция 
задана в виде
График этой функции изображен на рис. 17.
Найдем касательную к графику в точке (0,0). Поскольку
то касательная имеет уравнение
или просто
Таким образом, в нашем примере касательная совпадает с осью 
с которой график имеет бесконечное количество точек пересечения в любой окрестности точки касания.
В силу определения дифференцируемости функции 
в точке 
имеем
Поскольку правая часть этого равенства стремится к нулю при 
, то 
так что дифференцируемая в точке функция обязана быть непрерывной в этой точке.
Покажем, что обратное, конечно, не всегда имеет место.
Пример 8. Пусть 
(рис. 18). Тогда в точке 
Следовательно, в этой точке функция не имеет производной, а значит, и не дифференцируема в этой точке.
Пример 9. Покажем, что 
при 
.
Рис. 18
Таким образом, функция 
дифференцируема, причем 
или 
и тем самым 
, или 
Мы воспользовались полученной в примере 39, гл. III, § 
формулой 
при 
Пример 
при 
Таким образом, 
.
Пример 
при 
Таким образом, 
При 
имеем 
поэтому для достаточно малых значений 
можно написать
при 
Мы воспользовались здесь тем, что, как показано в примере 38, гл. III, § 2, п. 4, 
при 
.
Пример 
при 
,
Таким образом, 
Мы воспользовались формулой перехода к другому основанию логарифмов и соображениями, изложенными при рассмотрении примера 
Покажем, что 
эквивалентностью 
при 
и теоремой о пределе композиции.
