2. Отношение включения.
Как уже отмечалось, объекты, составляющие множество, принято называть элементами этого множества. Мы будем стремиться обозначать множества прописными буквами латинского алфавита, а элементы множества — соответствующими строчными буквами.
Высказывание 
есть элемент множества X» коротко обозначают символом
а его отрицание — символом
В записи высказываний о множествах часто используются логические операторы 3 («существует» или «найдется») и V («любой» или «для любого»), называемые кванторами существования и всеобщности соответственно.
Например, запись 
означает, что для любого объекта х соотношения 
равносильны. Поскольку множество вполне определяется своими элементами, указанное высказывание принято обозначать короткой записью
читаемой а А равно В», обозначающей совпадение множеств, А и В.
Рис. 1
Таким образом, два множества равны, когда они состоят из одних и тех же элементов.
Отрицание равенства обычно записывают в виде 
.
Если любой элемент множества А является элементом множества В, то пишут 
или 
и говорят, что множество 
является подмножеством множества В, или что В содержит А, или что В включает в себя А. В связи с этим отношение А С. В между множествами А, В называется отношением включения (рис. 1).
Итак,
Если 
то будем говорить, что включение 
строгое или что А — собственное подмножество В.
Используя приведенные определения, теперь можно заключить, что
Если М — множество, то любое свойство Р выделяет в М подмножество
тех элементов М, которые обладают этим свойством.
Например, очевидно, что
С другой стороны, если в качестве Р взять свойство, которым не обладает ни один элемент множества М, например 
, то мы получим множество
называемое пустым подмножеством множества М.
