§ 2. Предел и непрерывность функции многих переменных

1. Предел функции.

В главе III мы подробно изучили операцию предельного перехода для вещественнозначных функций , определенных на множестве X, в котором фиксирована база В.

В ближайших параграфах нам предстоит рассматривать функции определенные на подмножествах пространства со значениями в или вообще в Мы сделаем сейчас ряд добавлений к теории предела, связанных со спецификой этого класса функций.

Начнем, однако, с общего основного определения.

Определение 1. Точка называется пределом отображения по базе В в X, если для любой окрестности этой точки найдется элемент базы В, образ которого содержится в

Короче,

Мы видим, что определение предела функции полностью совпадает с определением предела функции , если мы представляем себе, что такое окрестность точки для любого

Определение 2. Отображение называется ограниченным, если множество ограничено в

Определение 3. Пусть В — база в множестве X. Отображение называется финально ограниченным при базе В, если найдется элемент В базы В, на котором ограничено.

Учитывая эти определения, нетрудно проверить теми же рассуждениями, которые мы провели в главе III, что функция может иметь не более одного предела по данной базе

функция имеющая предел по базе В, финально ограничена при этой базе В.

Определение 1 можно переписать также в иной форме, явно использующей наличие в метрики. А именно,

Определение 1.

или

Определение

Специфическая особенность отображения состоит в том, что поскольку точка есть упорядоченный набор из вещественных чисел, то задание функции равносильно заданию вещественнозначных функций где

Если то справедливы неравенства

из которых видно, что

т. е. сходимость в покоординатная.

Пусть теперь — множество натуральных чисел, база в нем. Функция в данном случае есть последовательность точек пространства

Определение 4. Последовательность точек называется фундаментальной, если для любого найдется такое число что при любых выполнено

Из неравенств (1) видно, что последовательность точек фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальна каждая из последовательностей их одноименных координат.

Учитывая соотношение (2) и критерий Коши для числовых последовательностей, можно теперь утверждать, что последовательность точек в сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Иными словами, критерий Коши справедлив и в пространстве

Впоследствии метрические пространства, в которых каждая фундаментальная последовательность имеет предел, мы назовем полными метрическими пространствами. Таким образом, мы сейчас установили, что при любом является полным метрическим пространством.

Определение 5. Колебанием функции на множестве называется величина

где — диаметр множества

Как видно, это есть прямое обобщение определения колебания вещественнозначной функции, в которое определение 5 и переходит при

С полнотой связано то, что для функций со значениями в справедлив следующий критерий Коши существования предела.

Теорема 1. Пусть X — множество, В — база в X. Функция имеет предел по базе В в том и только в том случае, когда для любого числа найдется элемент базы, на котором колебание функции меньше .

Итак,

Доказательство теоремы 1 дословно повторяет доказательство критерия Коши для числовых функций (гл. III, § 2, теорема 4) с единственным изменением, сводящимся к тому, что теперь вместо следует всюду писать

В справедливости теоремы 1 можно убедиться и иначе, если считать известным критерий Коши для вещественнозначных функций и воспользоваться соотношениями (2) и (1).

Для функций со значениями в остается в силе также важная теорема о пределе композиции.

Теорема 2. Пусть — множество, — база в — отображение, имеющее предел по базе

Пусть X — множество, — база в — такое отображение X в что для любого элемента базы найдется элемент базы образ которого содержится в

При этих условиях композиция о отображений определена, имеет предел по базе и

Доказательство теоремы 2 можно провести, либо повторив доказательство теоремы 5 из § 2 гл. III, с заменой там Е на либо сослаться на указанную теорему и воспользоваться соотношением (2).

До сих пор мы рассматривали функции со значениями в никак не конкретизируя область их определения X. В дальнейшем нас прежде всего будет интересовать случай, когда X есть подмножество пространства Ет.

Условимся, что, как и прежде:

— окрестность точки а

— проколотая окрестность точки а

— окрестность точки а в множестве

— проколотая окрестность точки а в множестве Е, т. е.

— база проколотых окрестностей точки а в

— база окрестностей бесконечности, т. е. база, состоящая из множеств

или — база проколотых окрестностей точки а в множестве Е, если а — предельная точка для Е;

, или — база окрестностей бесконечности в множестве Е, состоящая из множеств если Е — неограниченное множество.

В соответствии с этими обозначениями можно, например, дать следующие конкретизации определения 1 предела функции, если речь идет о функции отображающей множество

Это же можно записать и иначе:

Здесь подразумевается, что расстояния измеряются в тех пространствах в которых лежат указанные точки.

Наконец,

Условимся также, что запись при базе В» в случае отображения всегда будет означать, что для любого шара найдется элемент базы В такой, что

Пример 1. Пусть — отображение , состоящее в том, что каждой точке пространства ставится в соответствие ее координата Итак,

Если то, очевидно,

Функция не стремится ни к конечной величине, ни к бесконечности при если

Вместе с тем

Не следует думать, что предел функции нескольких переменных можно найти, вычисляя последовательно пределы по каждой из координат. В этом можно убедиться на следующих примерах.

Пример 2. Пусть функция в точке определена так:

Тогда при

Таким образом, эта функция не имеет предела при

Вместе с тем

Пример 3. Для функции

имеем

Пример 4. Для функции

имеем

и в то же время повторный предел

вообще не существует.

Пример 5. Функция

имеет нулевой предел при стремлении к началу координат по любому лучу

Вместе с тем функция равна в любой точке вида где поэтому функция не имеет предела при