2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции.

Если векторы из записать в координатах, то равенство (1) окажется равносильным равенствам

между вещественнозначными функциями, в которых, как следует из соотношений (9) и (15) § 1, суть линейные функции, а при для любого

Таким образом, справедливо

Утверждение 1. Отображение множества дифференцируемо в точке , предельной для множества Е, тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы функции задающие координатное представление данного отображения.

Поскольку соотношения (1) и равносильны, то для отыскания дифференциала отображения достаточно научиться находить дифференциалы его координатных функций

Итак, рассмотрим вещественнозначную функцию , определенную на множестве и дифференцируемую во внутренней точке этого множества. Заметим, что в дальнейшем нам большей частью придется иметь

дело с тем случаем, когда Е будет областью в Если есть внутренняя точка множества Е, то при любом достаточно малом смещении от точки х точка также будет принадлежать Е и, следовательно, будет находиться в области определения функции .

Если перейти к координатной записи точки вектора и линейной функции то условие

перепишется в виде

где — связанные с точкой вещественные числа.

Мы хотим найти эти числа. Для этого вместо произвольного смещения рассмотрим специальное смещение

на вектор , коллинеарный вектору базиса

При очевидно, поэтому из (4) при получаем

Это равенство означает, что если фиксировать в функции все переменные, кроме переменной, то получаемая при этом функция переменной оказывается дифференцируемой в точке

Из равенства (5), таким образом, находим, что

Определение 2. Предел (6) называется частной производной функции в точке по переменной Его обозначают одним из следующих символов:

Пример 1. Если

Пример 2. Если то

Итак, мы доказали

Утверждение функция определенная на множестве дифференцируема во внутренней точке этого множества, то в этой точке функция имеет частные производные по каждой переменной и дифференциал функции однозначно определяется этими частными производными в виде

Формулу (7), используя соглашение о суммировании по повторяющемуся снизу и сверху индексу, можно записать компактно:

Пример 3. Если бы мы знали (а скоро мы это узнаем), что рассмотренная в примере 2 функция дифференцируема в точке (0,1,0), то можно было бы сразу записать, что

и, в соответствии с этим,

или

Пример 4. Для функции которая точке ставит в соответствие ее координату, имеем

т. е. приращение этой функции само есть линейная по функция Таким образом, причем отображение на

самом деле оказывается не зависящим от в том смысле, что в любой точке Если вместо писать то получаем, что

Учитывая это обстоятельство и формулу (8), мы теперь можем представить дифференциал любой функции в виде линейной комбинации дифференциалов координат ее аргумента именно:

поскольку для любого вектора имеем