2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций.

Пусть Е — множество в пространстве — определенная на нем функция со значениями в пространстве

Определение Функция называется непрерывной в точке а , если для любой окрестности значения этой функции, принимаемого ею в точке а, найдется такая окрестность точки а в множестве Е, образ которой содержится в

Итак,

Мы видим, что по форме определение 6 совпадает со знакомым нам определением 1 непрерывности вещественнозначной функции, приведенным в § 1 гл. IV. Как и там, мы можем дать следующие вариации записи этого определения:

или, если а — предельная точка множества Е,

Как уже отмечалось в главе IV, понятие непрерывности представляет интерес именно в том случае, когда речь идет о точке , предельной для множества Е, на котором определена функция

Из определения и соотношения (2) следует, что отображение задаваемое соотношением

непрерывно в некоторой точке в том и только в том случае, когда каждая из функций непрерывна в этой точке.

В частности, вспомним, что путем в мы назвали отображение промежутка , задаваемое непрерывными функциями в виде

Таким образом, мы теперь можем сказать, что путь в есть непрерывное отображение промежутка вещественной оси в пространство

По аналогии с определением колебания вещественнозначной функции в точке, вводится понятие колебания в точке функции со значениями в

Пусть Е — множество в .

Определение 7. Колебанием функции в точке называется величина

Из определения непрерывности функции, с учетом свойств предела и критерия Коши, получаем совокупность часто используемых локальных свойств непрерывных функций. Перечислим эти

Локальные свойства непрерывных функций

Отображение множества непрерывно в точке тогда и только тогда, когда

Отображение непрерывное в точке а , ограничено в некоторой окрестности этой точки.

Если отображение множества непрерывно в точке отображение множества непрерывно в точке , причем то определено отображение и оно непрерывно в точке .

Вещественнозначные функции, кроме того, обладают еще следующими свойствами:

Если функция непрерывна в точке (или то найдется такая окрестность точки а в Е, что для справедливо (соответственно,

Если функции непрерывны в точке а , то их линейная комбинация где произведение

если на Е, то и частное определены на Е и непрерывны в точке а .

Условимся говорить, что функция непрерывна на множестве Е, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Множество функций непрерывных на будем обозначать символом или символом если область значений функций однозначно определяется по контексту; как правило, это сокращение будет использоваться в случае, когда

Пример Функции отображающие на Е (проекции), очевидно, непрерывны в любой точке ибо

Пример 7. Любую функцию определенную на Е, например можно рассматривать и как функцию определенную, положим, на . В таком случае, если была непрерывна как функция на Е, новая функция будет непрерывна как функция на Это можно проверить либо непосредственно по определению непрерывности, либо заметить, что функция есть композиция непрерывных функций.

В частности, отсюда с учетом с) и е) следует, что, например, функции

непрерывны на

Заметим, что проведенные рассуждения по существу своему локальны, а то, что в примере 7 функции рассматривались соответственно на всей оси Е или плоскости является обстоятельством случайным.

Пример 8. Функция из примера 2 непрерывна в любой точке пространства кроме точки (0,0). Заметим, что, несмотря на разрывность функции в точке (0,0), эта функция непрерывна по любой из двух своих переменных при каждом фиксированном значении другой переменной.

Пример 9. Если функция непрерывна на множестве подмножество Е, то ограничениефункции на это подмножество есть функция, непрерывная на Е, что непосредственно следует из определения непрерывности функции в точке.

Перейдем теперь к глобальным свойствам непрерывных функций. Чтобы сформулировать их для функций дадим сначала два определения.

Определение 8. Отображение множества. в пространство называется равномерно непрерывным на Е, если для любого числа найдется такое число что для любых точек таких, что выполнено

Как и прежде, подразумевается, что расстояния измеряются соответственно в

При мы возвращаемся к уже знакомому нам определению равномерной непрерывности числовых функций.

Определение 9. Множество называется линейно связным, если для любой пары его точек существует путь с носителем концами в этих точках.

Иными словами, из любой точки можно пройти к любой точке , не выходя за пределы множества Е.

Поскольку мы пока не будем рассматривать иного понятия связности множества, кроме понятия линейной связности, то для краткости условимся пока линейно связные множества назвать просто связными.

Определение 10. Областью в пространстве называется открытое связное множество.

Пример 10. Шар является областью. Открытость нам уже известна. Проверим, что шар связен. Пусть — две точки шара. Путь, задаваемый функциями определенными на отрезке имеет своими концами точки Кроме того, его носитель лежит в шаре Если, поскольку, в силу неравенства Минковского, при любом

Пример 11. Окружность (одномерная сфера) радиуса есть подмножество в задаваемое уравнением Полагая видим, что любые точки окружности можно соединить путем с носителем на окружности. Значит, окружность — связное множество. Однако это множество не является областью в поскольку оно не открыто в

Сформулируем теперь основные

Глобальные свойства непрерывных функций

Если отображение непрерывно на компакте то оно равномерно непрерывно на К.

Если отображение непрерывно на компакте Если то оно ограничено на К.

Если функция непрерывна на компакте Если то она принимает в некоторых точках К минимальное и максимальное из своих значений на К.

Если функция непрерывна на связном множестве Е, принимает в точках значения то для любого числа С, лежащего между А и В, найдется точка с , в которой

Изучая в свое время (гл. IV, § 2) локальные и глобальные свойства числовых функций одной переменной, мы дали такие их доказательства, которые

переносятся и на рассматриваемый здесь более общий случай. Единственное изменение, которое при этом следует сделать в прежних доказательствах, состоит в том, что выражения типа или надо заменить на где — метрика в том пространстве, где лежат рассматриваемые точки. Это замечание относится в полной мере ко всему, кроме последнего утверждения доказательство которого мы сейчас проведем.

Пусть путь, являющийся таким непрерывным отображением отрезка что . В силу связности Е такой путь существует. Функция как композиция непрерывных функций, непрерывна, поэтому на отрезке найдется точка в которой Положим Тогда с

Пример 12. Сфера задаваемая в уравнением

является компактом.

Действительно, из непрерывности функции

следует замкнутость сферы, а из того, что на сфере следует ее ограниченность.

Функция

непрерывна на всем пространстве поэтому ее ограничение на сферу есть также непрерывная функция, которая в силу глобального свойства с) непрерывных функций имеет на сфере минимальное и максимальное значения. В точках сферы рассматриваемая функция принимает значения соответственно. Ввиду связности сферы (см. задачу 3 в конце параграфа) на основании глобального свойства непрерывных функций можно утверждать, что на сфере есть точка, в которой рассматриваемая функция обращается в нуль.

Пример 13. Открытое множество при не является областью, так как оно несвязно.

Действительно, если есть путь, один конец которого совпадает с точкой другой — с некоторой точкой такой, что то композиция непрерывных отображений

есть непрерывная на отрезке I функция, принимающая на его концах значения, меньшее и большее чем Значит, на этом отрезке найдется точка 7, в которой Тогда точка носителя нашего пути оказывается лежащей на сфере . Мы показали, что нельзя выйти из шара не пересекая его граничной сферы .

Задачи и упражнения

(см. скан)