Это условие, очевидно, равносильно тому, что в любой окрестности точки 
есть по крайней мере одна не совпадающая с 
точка множества X. (Проверьте!)
Приведем несколько примеров.
Если 
то предельной для X является только точка 
.
Для интервала 
предельной является каждая точка отрезка 
и других предельных точек в этом случае нет.
Для множества 
рациональных чисел предельной является каждая точка Е, ибо, как мы знаем, в любом интервале вещественных чисел имеются рациональные числа.
Лемма (Больцано—Вейерштрасс). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.
Пусть X — данное под множество Е. Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке 
. Покажем, что по крайней мере одна из точек отрезка I является предельной для X.
Если бы это было не так, то каждая точка 
имела бы окрестность 
в которой либо вообще нет точек множества X, либо их там конечное число. Совокупность 
таких окрестностей, построенных для каждой точки 
образует покрытие отрезка I интервалами 
из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему 
интервалов, покрывающую отрезок I. Но, поскольку 
эта же система покрывает все множество X. Однако в каждом интервале 
только конечное число точек множества X, значит, и в их объединении тоже конечное число точек X, т. е. X — конечное множество. Полученное противоречие завершает доказательство.
мы назвали интервал, содержащий эту точку; 
-окрестностью точки х — интервал 
называется предельной точкой множества 
, если любая окрестность этой точки содержит бесконечное подмножество множества X.
