3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций.

В примерах 1)—3) мы установили абсолютную сходимость в С рядов, полученных распространением в комплексную область тейлоровских разложений функций определенных на По этой причине естественны следующие определения функций в С:

Подставим, следуя Эйлеру, в . Группируя соответствующим образом слагаемые частичных сумм получающегося при этом ряда, найдем, что

т. е.

Это и есть знаменитая формула Эйлера.

При ее выводе мы пользовались тем, что Число у в формуле (22) может быть как действительным, так и произвольным комплексным.

Из определений (20), (21) видно, что

т. e. — четная функция, а — нечетная функция. Таким образом,

Сравнивая последнее равенство с формулой (22), получаем

Поскольку у — любое комплексное число, то эти равенства лучше переписать в обозначениях, не вызывающих недоразумений:

Таким образом, если принять, что задается соотношением (19), то формулы (23) (равносильные разложениям (20), (21)), как и формулы

можно принять в качестве определений соответствующих круговых и гиперболических функций. Забыв все наводящие и подчас не вполне строго обоснованные соображения, относившиеся к тригонометрическим функциям (которые, однако, привели нас к формуле Эйлера), можно было бы теперь проделать типичный математический трюк, приняв формулы (23), (24) за определения и получить из них уже совсем формально свойства круговых и гиперболических функций.

Например, основные тождества

как и свойства четности, проверяются непосредственно.

Более глубокие свойства, как, например, формулы для косинуса или синуса суммы, вытекают из характеристического свойства показательной функции:

которое, очевидно, следует из определения (19) и формулы (18). Выведем формулы для косинуса и синуса суммы.

С одной стороны, по формуле Эйлера

С другой стороны, по свойству показательной функции и формуле Эйлера

Бели бы были действительными числами, то, приравнивая действительные и мнимые части чисел из формул (26) и (27), мы уже получили бы искомые формулы. Поскольку мы собираемся доказать их для любых ,

то, пользуясь четностью и нечетностью запишем еще одно равенство: Сравнивая (27) и (28), находим

Совершенно аналогично можно было бы получить соответствующие формулы для гиперболических функций которые, кстати, как видно из формул (23), (24), связаны с функциями простыми соотношениями

Однако получить такие геометрические очевидности, как или из определений (23), (24) уже очень трудно. Значит, стремясь к точности, не следует забывать те задачи, где соответствующие функции естественным образом возникают. По этой причине мы не станем здесь преодолевать возможные затруднения в описании свойств тригонометрических функций, связанные с определениями (23), (24), а еще раз вернемся к этим функциям после теории интеграла. Наша цель сейчас состояла только в том, чтобы продемонстрировать замечательное единство, казалось бы, совершенно различных функций, которое невозможно было обнаружить без выхода в область комплексных чисел.

Если считать известным, что для

то из формулы Эйлера (22) получаем соотношение

в котором представлены важнейшие постоянные различных областей математики (1 — арифметика, — геометрия, — анализ, — алгебра).

Из (25) и (29), как и из формулы (22), видно, что

т. е. экспонента оказывается периодической функцией на С с чисто мнимым периодом

Учитывая формулу Эйлера, тригонометрическую запись (7) комплексного числа теперь можно представить в виде

где — модуль числа — его аргумент.

Формула Муавра теперь становится совсем простой: