5. Построение графика функции.

Для наглядного описания функции очень часто используют ее графическое представление. Как правило, такое представление бывает полезно для обсуждения качественных вопросов поведения исследуемой функции.

Для точных расчетов графики используются реже. В связи с этим практически важным оказывается не столько скрупулезное воспроизведение функции в виде графика, сколько построение эскиза графика функции, правильно отражающего основные элементы ее поведения. Некоторые общие приемы, встречающиеся при построении эскизов графиков функций, мы и рассмотрим в этом пункте.

а. Графики элементарных функций.

Напомним прежде всего, как выглядят графики основных элементарных функций, свободное владение которыми необходимо для дальнейшего (рис. 24 — 30).

(кликните для просмотра скана)

b. Примеры построения эскизов графиков функций (без привлечения дифференциального исчисления).

Рассмотрим теперь некоторые примеры, в которых эскиз графика функции может быть легко построен, если нам известны графики и свойства простейших элементарных функций.

Пример 23. Построим эскиз графика функции

Учитывая, что

строим последовательно график квадратного трехчлена затем И затем (рис. 31).

«Угадать» такой вид графика можно было бы и иначе: выяснить область определения функции , найти поведение функции при приближении к граничным точкам области определения и на промежутках, концы которых являются граничными точками области определения, нарисовать «плавную кривую» с учетом найденного поведения функции у концов промежутка.

Рис. 31

Рис. 32

Пример 24. Построение эскиза графика функции

видно из рис. 32.

Мы построили этот график по некоторым характерным для данной функции точкам — тем точкам, где или Между двумя соседними точками такого типа функция монотонна. Вид графика в окрестности точки определяется тем, что при . Кроме того, полезно заметить, что данная функция четна.

Поскольку мы все время будем говорить только об эскизном, а не точном построении графика функции, то условимся ради краткости в дальнейшем считать, что требование «построить график функции» для нас всегда будет равносильно требованию «построить эскиз графика функции».

Пример 25. Построим график функции

(рис. 33). При график хорошо приближается прямой при — прямой

Введем следующее полезное

Рис. 33

Определение 4. Прямая называется асимптотой графика функции при если при

Таким образом, в нашем случае при график имеет асимптоту при — асимптоту

Если при (или при ), то ясно, что график функции в этом случае будет по мере приближения к а все теснее примыкать к вертикальной прямой Эту прямую называют вертикальной асимптотой графика, в отличие от введенной в определении 4 асимптоты, которая всегда наклонна.

Так, график из примера 23 (см. рис. 31) имеет две вертикальные асимптоты и горизонтальную асимптоту (общую для

Из определения 4, очевидно, вытекает, что

И вообще, если при то

Эти соотношения, выписанные нами для случая разумеется, справедливы также в случае и могут быть использованы для описания асимптотического поведения графика функции с помощью графика соответствующего алгебраического полинома со

Пример 26. Пусть — полярные координаты на плоскости, и пусть точка движется по плоскости так, что в момент времени

Требуется нарисовать траекторию точки.

Нарисуем для этого сначала графики функций (рис. 34 а, 34 б).

Рис. 34

Теперь, глядя одновременно на оба построенных графика, можем нарисовать общий вид траектории точки (рис. 34).

с. Использование дифференциального исчисления при построении графика функции.

Как мы видели, графики многих функций можно в общих чертах нарисовать, не выходя за пределы самых простых соображений. Однако если мы желаем уточнить эскиз, то в случае, когда производная исследуемой функции не слишком сложная, можно привлечь аппарат дифференциального исчисления. Продемонстрируем это на примерах.

Пример 27. Построить график функции в случае

Функция определена при Поскольку при то

Далее, при , очевидно, имеем при . Наконец, видно, что На основании этих наблюдений уже можно сделать первый набросок графика (рис. 35 а).

Рис. 35

Выясним теперь основательно, действительно ли данная функция монотонна на промежутках действительно ли она имеет указанные асимптоты и правильно ли изображен характер выпуклости графика функции.

Поскольку

то можно составить следующую таблицу:

На участках постоянства знака производной функция, как мы знаем, имеет соответствующий характер монотонности. В нижней строке таблицы символ означает монотонное убывание от до 0, а символ монотонное возрастание значений функции от 0 до

Заметим, что при при поэтому точка должна быть угловой точкой графика (излом типа излома у графика функции не обычной точкой, как это у нас изображено на рис. 35 а. Далее, при поэтому график должен выходить из начала координат, касаясь оси абсцисс (вспомните геометрический смысл

Уточним теперь асимптотику функции при

Поскольку при то

значит, на самом деле наклонные асимптоты графика суть при при

По этим данным уже можно построить достаточно надежный эскиз графика, но мы пойдем дальше и, вычислив

найдем участки выпуклости графика.

Поскольку лишь при то имеем следующую таблицу:

Поскольку при наша функция дифференцируема, а при переходе через эту точку меняет знак, то точка является точкой перегиба графика.

Между прочим, если бы производная обращалась в нуль, то из таблицы знаков можно было бы судить о наличии или отсутствии экстремума в соответствующей точке. В нашем случае нигде не обращается в нуль, но в точке функция имеет локальный минимум: она непрерывна в этой точке и при переходе через нее меняет знак с — на Впрочем, то, что при наша функция имеет минимум, видно уже из приведенного в таблице описания изменения значений функции на соответствующих промежутках, если, конечно, учесть еще, что

Теперь можно нарисовать более точный эскиз графика данной функции (см. рис. 35).

В заключение рассмотрим еще один

Пример 28. Пусть — декартовы координаты на плоскости, и пусть движущаяся точка в каждый момент имеет координаты

Требуется изобразить траекторию движения точки.

Нарисуем сначала эскизы графиков каждой из данных координатных функций (рис. 36 а, 36 б).

Рис. 36

Второй из этих графиков несколько интереснее, поэтому поясним его построение.

Поведение функции при и асимптотику при усматриваем непосредственно из вида аналитического выражения для

Вычислив производную

находим ее нули: в области .

Составив таблицу:

находим участки монотонности и локальные экстремумы

Теперь, глядя одновременно на оба графика строим эскиз траектории движения точки по плоскости (см. рис.

Этот эскиз можно уточнять. Например, можно выяснить асимптотику траектории.

Поскольку то прямая является асимптотой для обоих концов траектории, отвечающих стремлению к 1. Ясно также, что прямая есть вертикальная асимптота для участка траектории, отвечающего

Найдем далее

Функция , как легко выяснить, монотонно убывает от 1 до —1 при возрастании и от 0 до 1 и возрастает от — 1 до при возрастании и от 1 до

Из характера монотонности можно сделать заключение о характере выпуклости траектории на соответствующем участке. С учетом сказанного теперь можно построить следующий, более точный эскиз траектории движения точки (см. рис. 36d).

Если бы мы рассматривали траекторию также для то, как следует из нечетности функций к уже построенным на плоскости линиям добавились бы еще центрально симметричные им кривые.

Подведем некоторые итоги в виде самых общих рекомендаций относительно порядка построения графика заданной аналитически функции. Вот эти рекомендации.

1° Указать область определения функции.

2° Отметить специфические особенности функции, если они очевидны (например, четность, нечетность, периодичность, совпадение с точностью до простейших преобразований координат с графиками уже известных функций).

3° Выяснить асимптотическое поведение функции при подходе к граничным точкам области определения и, в частности, найти асимптоты, если они существуют.

4° Найти промежутки монотонности функции и указать ее локальные экстремумы.

5° Уточнить характер выпуклости графика и указать точки перегиба.

6° Отметить характерные точки графика, в частности точки пересечения с осями координат, если таковые имеются и доступны вычислению.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)