4. Евклидова структура в R^m.

Из алгебры известно понятие скалярного произведения в вещественном векторном пространстве как числовой функции определенной на парах векторов пространства и обладающей свойствами

Из этих свойств, в частности, следует, что если в пространстве фиксирован базис то через координаты векторов х и у их скалярное произведение запишется в виде билинейной формы

(подразумевается суммирование по и по в которой

Векторы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Базис называется ортонормированным, если где

В ортонормированном базисе скалярное произведение (19) имеет самый простой вид

или

Координаты, в которых скалярное произведение имеет такой вид, называют декартовыми координатами.

Напомним, что пространство с определенным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Между скалярным произведением (20) и нормой вектора (12) имеется очевидная связь

Из алгебры известно следующее неравенство:

которое, в частности, показывает, что для любой пары векторов найдется угол такой, что

Этот угол называют углом между векторами х и у. Именно по этой причине естественно считать ортогональными векторы, скалярное произведение которых равно нулю.

Полезным для нас будет также следующий известный из алгебры простой, но очень важный факт:

любая линейная функция евклидовом пространстве имеет вид

где — фиксированный и однозначно соответствующий функции вектор.