5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел.

Если мы докажем, что любой полином с комплексными коэффициентами имеет корень в С, то уже не возникнет надобности в расширении поля С, вызванной неразрешимостью в С некоторого алгебраического уравнения. В этом смысле утверждение о наличии корня у любого многочлена устанавливает алгебраическую замкнутость поля С.

Чтобы получить вполне наглядное представление о том, почему в С любой полином имеет корень, в то время как в его могло не быть, воспользуемся геометрической интерпретацией комплексного числа и функции комплексного переменного.

Заметим, что

и, следовательно, при Поскольку нас интересует корень уравнения то, поделив обе части уравнения на можно считать, что коэффициент многочлена равен 1 и потому

Если вспомнить (см. пример 15), что при отображении окружность радиуса переходит в окружность радиуса с центром в точке 0, то при достаточно больших значениях в силу (33), с малой относительной погрешностью образ окружности будет совпадать с окружностью плоскости (рис. 44). Во всяком случае, важно, что образом будет кривая, охватывающая точку

Если круг рассматривать как пленку, натянутую на окружность то при непрерывном отображении, осуществляемом полиномом эта пленка перейдет в пленку, натянутую на образ окружности. Но поскольку последний охватывает точку то некоторая точка этой пленки обязана совпадать с и, значит, в круге найдется точка которая при отображении перешла именно в

Рис. 44

Это наглядное рассуждение приводит к ряду очень важных и полезных понятий топологии (индекс пути относительно точки, степень отображения) и с помощью этих понятий может быть доведено до полного доказательства, справедливого, как можно понять, не только для полиномов. Однако эти рассмотрения, к сожалению, отвлекли бы нас от основного предмета, которым мы сейчас занимаемся; поэтому мы проведем другое доказательство, лежащее в русле тех идей, с которыми мы уже достаточно освоились.

Теорема 2. Каждый полином

степени с комплексными коэффициентами имеет в С корень.

Без ограничения общности утверждения теоремы, очевидно, можно считать, что

Пусть Поскольку то

и, очевидно, при если достаточно велико. Следовательно, точки последовательности в которых лежат в круге

Проверим, что в С (и даже в этом круге) есть точка в которой Для этого заметим, что если то

и, таким образом, последовательности действительных чисел оказываются ограниченными. Извлекая сначала сходящуюся подпоследовательность из затем сходящуюся подпоследовательность из получим подпоследовательность последовательности которая имеет предел и поскольку при то . Чтобы избежать громоздких обозначений и не переходить к подпоследовательностям, будем считать, что уже сама последовательность сходится. Из непрерывности следует, что Но тогда

Теперь предположим, что и приведем это предположение к противоречию. Если то рассмотрим полином построению,

Поскольку полином имеет вид

где Если регто при будем иметь Таким образом, при получим

если достаточно близко к нулю. Но при . Полученное противоречие показывает, что

Замечание 1. Первое доказательство теоремы о разрешимости в С любого алгебраического уравнения с комплексными коэффициентами (которую по традиции часто называют основной теоремой алгебры) было дано Гауссом, который вообще вдохнул вполне реальную жизнь в так называемые «мнимые» числа, найдя им разнообразные и глубокие приложения.

Замечание 2. Многочлен с вещественными коэффициентами как мы знаем, не всегда имеет вещественные корни. Однако по отношению к произвольному многочлену с комплексными коэффициентами

он обладает той особенностью, что если то и Действительно, из определения сопряженного числа и правил сложения комплексных чисел следует, что Из тригонометрической формы записи комплексного числа и правил умножения комплексных чисел видно, что

Таким образом,

и если

Следствие 1. Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами допускает, и притом единственное с точностью до порядка сомножителей, представление в виде

где (и, может быть, не все числа различны между собой).

Из алгоритма деления («уголком») многочлена на многочлен степени находим, что где — некоторые многочлены, причем степень меньше степени т. е. меньше т. Таким образом, если то — просто постоянная.

Пусть — корень многочлена Тогда и поскольку то Значит, если — корень многочлена то справедливо представление Степень многочлена равна ним можно повторить то же самое рассуждение. По индукции получаем, что Поскольку должно быть то

Следствие 2. Любой многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных многочленов с действительными коэффициентами.

Это вытекает из предыдущего следствия 1 и замечания 2, в силу которого вместе с корнем является также число Тогда, перемножив в разложении (34) многочлена скобки — получим многочлен второго порядка с действительными коэффициентами. Число в нашем случае равное вещественное, и его можно внести в одну из скобок разложения, не меняя ее степени.

Перемножив одинаковые скобки в разложении (34), это разложение можно переписать в виде

Число называется кратностью корня

Поскольку где то

где Таким образом, мы приходим к следующему заключению.

Следствие 3. Каждый корень многочлена кратности является корнем кратности многочлена — производной

Не будучи пока в состоянии найти корни многочлена мы на основании последнего утверждения и разложения (35) можем найти многочлен корни которого совпадают с корнями но все они уже кратности 1.

Действительно, по алгоритму Евклида сначала найдем многочлен — наибольший общий делитель В силу следствия 3, разложения (35) и теоремы 2, многочлен с точностью до постоянного множителя равен произведению поэтому, поделив на с точностью до постоянного множителя (от которого можно затем избавиться дополнительным делением на коэффициент при получим многочлен

Рассмотрим теперь отношение многочленов, где Если степень больше степени то, применив алгоритм деления многочленов, представим в виде где — некоторые многочлены, причем степень уже меньше, чем степень Таким образом, получаем представление в виде где дробь уже правильная в том смысле, что степень меньше степени

Следствие, которое мы сейчас сформулируем, относится к представлению правильной дроби в виде суммы дробей, называемых простейшими.

Следствие 4. а) Если и — правильная дробь, то существует и притом единственное представление дроби в виде

Если — многочлены с действительными коэффициентами и то

существует и притом единственное представление правильной дроби в виде

где — действительные числа.

Заметим, что универсальным, хотя и не всегда самым коротким способом фактического отыскания разложений (36) или (37) является метод неопределенных коэффициентов, состоящий в том, что сумма в правой части (36) или (37) приводится к общему знаменателю после чего приравниваются коэффициенты полученного числителя и соответствующие коэффициенты многочлена Система линейных уравнений, к которой мы при этом приходим, в силу следствия 4 всегда однозначно разрешима.

Поскольку нас, как правило, будет интересовать разложение конкретной дроби, которое мы получим методом неопределенных коэффициентов, то кроме уверенности, что это всегда можно сделать, нам от следствия 4 пока ничего больше не требуется. По этой причине мы не станем проводить его доказательство. Оно обычно излагается на алгебраическом языке в курсе высшей алгебры, а на аналитическом языке — в курсе теории функций комплексного переменного.

Рассмотрим специально подобранный пример, на котором можно проиллюстрировать изложенное.

Пример 17. Пусть

требуется найти разложение (37) дроби —

Прежде всего, задача осложнена тем, что мы не знаем разложения многочлена Попробуем упростить ситуацию, избавившись от кратности корней если таковая имеет место. Находим

Довольно утомительным, но выполнимым счетом по алгоритму Евклида находим наибольший общий делитель

многочленов Мы выписали наибольший общий делитель с единичным коэффициентом при старшей степени х.

Разделив на получаем многочлен

имеющий те же корни, что и многочлен но единичной кратности. Корень —1 многочлена легко угадывается. После деления на получаем Таким образом,

после чего последовательным делением на находим разложение

а вслед за этим и разложение

Таким образом, в силу следствия ищем разложение дроби в виде

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты полученного в числителе многочлена и соответствующие коэффициенты многочлена приходим к системе семи уравнений с семью неизвестными, решая которую, окончательно получаем

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)