Математический анализ. Часть I.
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ § 1. Логическая символика § 2. Множество и элементарные операции над множествами 2. Отношение включения. 3. Простейшие операции над множествами. Упражнения § 3. Функция 2. Простейшая классификация отображений. 3. Композиция функций и взаимно обратные отображения. 4. Функция как отношение. График функции. § 4. Некоторые дополнения 2. Об аксиоматике теории множеств. 3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств. Упражнения ГЛАВА II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА § 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел. 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества § 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами 2. Рациональные и иррациональные числа 3. Принцип Архимеда. 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами Задачи и упражнения § 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел 2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля — Лебега) 3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано—Вейерштрасса). Задачи и упражнения § 4. Счетные и несчетные множества 2. Мощность континуума Задачи и упражнения ГЛАВА III. ПРЕДЕЛ 2. Свойства предела последовательности 3. Вопросы существования предела последовательности 4. Начальные сведения о рядах § 2. Предел функции 2. Свойства предела функции. 3. Общее определение предела функции (предел по базе). 4. Вопросы существования предела функции ГЛАВА IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 2. Точки разрыва. § 2. Свойства непрерывных функций 2. Глобальные свойства непрерывных функций. ГЛАВА V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 2. Функция, дифференцируемая в точке. 3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала. 4. Роль системы координат. 5. Некоторые примеры Задачи и упражнения § 2. Основные правила дифференцирования 2. Дифференцирование композиции функций 3. Дифференцирование обратной функции 4. Таблица производных основных элементарных функций. 5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции. 6. Производные высших порядков. § 3. Основные теоремы дифференциального исчисления 2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении. 3. Формула Тейлора. § 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления 2. Условия внутреннего экстремума функции. 3. Условия выпуклости функции 4. Правило Лопиталя. 5. Построение графика функции. § 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций 2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами. 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций. 4. Представление функции степенным рядом, аналитичность. 5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел. § 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания 2. Барометрическая формула. 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел. 4. Падение тел в атмосфере. 5. Еще раз о числе e и функции exp(x). 6. Колебания. § 7. Первообразная 2. Основные общие приемы отыскания первообразной. 3. Первообразные рациональных функций. 4. Первообразные вида ... 5. Первообразные вида ... ГЛАВА VI. ИНТЕГРАЛ § 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций 2. Определение интеграла Римана 3. Множество интегрируемых функций. § 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла 2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования. 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем § 3. Интеграл и производная 2. Формула Ньютона—Лейбница 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора 4. Замена переменной в интеграле. 5. Некоторые примеры. § 4. Некоторые приложения интеграла 2. Длина пути. 3. Площадь криволинейной трапеции. 4. Объем тела вращения. 5. Работа и энергия. § 5. Несобственный интеграл 2. Исследование сходимости несобственного интеграла 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями. ГЛАВА VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИХ ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 2. Открытые и замкнутые множества в R^m 3. Компакты в R^m § 2. Предел и непрерывность функции многих переменных 2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций. ГЛАВА VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Линейные отображения L : R^m -> R^n. 3. Норма в R^m. 4. Евклидова структура в R^m. § 2. Дифференциал функции многих переменных 2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции. 3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби. 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке. § 3. Основные законы дифференцирования 2. Дифференцирование композиции отображений 3. Дифференцирование обратного отображения § 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных 2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных 4. Формула Тейлора 5. Экстремумы функций многих переменных. 6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных § 5. Теорема о неявной функции 2. Простейший вариант теоремы о неявной функции. 3. Переход к случаю зависимости 4. Теорема о неявной функции. § 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции 2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду. 3. Зависимость функций 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших. 5. Лемма Морса. § 7. Поверхность в R^n и теория условного экстремума 2. Касательное пространство. 3. Условный экстремум НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ЛИТЕРАТУРА |
