2. Определение интеграла Римана

a. Разбиения

Определение 1. Разбиением Р отрезка называется конечная система точек этого отрезка такая, что

Отрезки называются отрезками разбиения Р.

Максимум из длин отрезков разбиения называется параметром разбиения Р.

Определение 2. Говорят, что имеется разбиение с отмеченными точками отрезка если имеется разбиение Р отрезка и в каждом из отрезков разбиения Р выбрано по точке

Набор обозначается одним символом .

b. База в множестве разбиений.

В множестве V разбиений с отмеченными точками данного отрезка рассмотрим следующую базу Элемент базы В есть совокупность всех тех разбиений с отмеченными точками отрезка для которых

Проверим, что — действительно база в V.

Во-первых, . В самом деле, каким бы ни было число очевидно, существует разбиение Р отрезка с параметром (например, разбиение на конгруэнтных отрезков). Но тогда существует и разбиение с отмеченными точками, для которого

Во-вторых, если то, очевидно,

Итак, — действительно база в V.

c. Интегральная сумма

Определение 3. Если функция определена на отрезке — разбиение с отмеченными точками этого отрезка, то сумма

где называется интегральной суммой функции соответствующей разбиению с отмеченными точками отрезка .

Таким образом, при фиксированной функции интегральная сумма оказывается функцией на множестве V разбиений с отмеченными точками отрезка .

Поскольку в V имеется база В, то можно ставить вопрос о пределе функции по этой базе.

d. Интеграл Римана.

Пусть — функция, заданная на отрезке

Определение 4. Говорят, что число I является интегралом Римана от функции на отрезке если для любого найдется число

такое, что для любого разбиения с отмеченными точками отрезка параметр которого имеет место соотношение

Поскольку разбиения , для которых составляют элемент введенной выше базы В в множестве V разбиений с отмеченными точками, то определение 4 равносильно тому, что

т. е. интеграл I есть предел по базе В значений интегральных сумм функции отвечающих разбиению с отмеченными точками отрезка

Базу В естественно обозначить символом и тогда определение интеграла можно переписать в виде

Интеграл от функции по отрезку обозначается символом

в котором числа называются нижним и верхним пределом интегрирования соответственно; — подынтегральная функция, — подынтегральное выражение, — переменная интегрирования.

Итак,

Определение 5. Функция называется интегрируемой по Риману на отрезке если для нее существует указанный в (5) предел интегральных сумм при (т. е. если для нее определен интеграл Римана).

Множество всех функций, интегрируемых по Риману на отрезке будет обозначаться через

Поскольку пока мы не будем рассматривать другого интеграла, кроме интеграла Римана, условимся для краткости вместо терминов «интеграл Римана» и «функция, интегрируемая по Риману» говорить соответственно «интеграл» и «интегрируемая функция».