5. Некоторые примеры.

Рассмотрим теперь некоторые примеры использования полученных формул и доказанных в последних двух параграфах теорем о свойствах интеграла.

Пример 1.

Для вычисления интеграла мы сделали замену переменной затем, найдя первообразную получившейся после этой замены подынтегральной функции, воспользовались формулой Ньютона—Лейбница.

Конечно, можно было бы поступить и иначе: найти довольно громоздкую первообразную функции и затем воспользоваться формулой Ньютона—Лейбница. Пример показывает что при вычислении определенного интеграла, к счастью, иногда удается избежать отыскания первообразной подынтегральной функции.

Пример 2. Покажем, что

при

если Случай, когда можно рассмотреть отдельно, и в этом случае, очевидно, вновь приходим к тому же результату.

Пример 3. Пусть Покажем, что

четная функция, если — нечетная функция.

Если

Бели же то, как видно из тех же выкладок, получим

Пример 4. Пусть — определенная на всей числовой прямой М периодическая функция с периодом Т, т. е. при .

Бели — интегрируемая на каждом конечном отрезке функция, то при любом а имеет место равенство

т. e. интеграл от периодической функции по отрезку длины периода Т этой функции не зависит от положения отрезка интегрирования на числовой прямой:

Мы сделали замену и воспользовались периодичностью функции

Пример 5. Пусть нам нужно вычислить интеграл например, с точностью до

Мы знаем, что первообразная (интеграл Френеля) не выражается в элементарных функциях, поэтому использовать формулу Ньютона—Лейбница здесь в традиционном смысле нельзя.

Поступим иначе. Исследуя в дифференциальном исчислении формулу Тейлора, мы в качестве примера (см. гл. V, § 3, пример 11) нашли, что на отрезке с точностью до имеет место равенство

Но если на отрезке то верно также, что при

Следовательно,

Таким образом, для вычисления интеграла с нужной точностью достаточно вычислить интеграл Но

поэтому

Пример 6. Величина называется интегральным средним значений функции на отрезке

Пусть — определенная на Е и интегрируемая на любом отрезке функция. Построим по новую функцию

значение которой в точке х есть интегральное среднее значений в -окрестности точки х.

Покажем, что функция (называемая усреднением более регулярна по сравнению с Точнее, если интегрируема на любом отрезке то непрерывна на если то

Проверим сначала непрерывность функции

если , например, в -окрестности точки Из этой оценки, очевидно, следует непрерывность функции

Если же то по правилу дифференцирования сложной функции

поэтому из записи

получаем, что

Функцию после замены и переменной интегрирования можно записать в виде

Если то, применяя первую теорему о среднем, находим, что

где Отсюда следует, что

что вполне естественно.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)