3. Первообразные рациональных функций.

Рассмотрим вопрос об интегралах вида где есть отношение полиномов.

Если действовать в области вещественных чисел, то, не выходя за пределы поля вещественных чисел, любую такую дробь, как известно из алгебры (см. формулу (37) из § можно разложить в сумму

где многочлен (он появляется при делении на только если степень не меньше степени однозначно определяемые действительные числа,

О том, как строить разложение (8), мы уже говорили в § 5. После того как разложение (8) построено, интегрирование функции сводится к интегрированию отдельных слагаемых.

Многочлен мы уже интегрировали в примере 1, поэтому остается рассмотреть только интегрирование дробей вида

Вопрос о первой из этих дробей решается сразу, ибо

С интегралом

поступим следующим образом. Представим многочлен в виде где так как многочлен не имеет вещественных корней. Полагая получаем

где

Далее,

и остается разобраться с интегралом

Интегрируя по частям и делая элементарные преобразования, имеем

откуда следует рекуррентное соотношение

позволяющее понижать степень к в интеграле (11). Но легко вычислить:

таким образом, используя (12) и (13), можно вычислить также первообразную (11).

Итак, мы доказали следующее

Утверждение 2. Первообразная любой рациональной функции выражается через рациональные функции, а также трансцендентные функции Рациональная часть первообразной, будучи приведена к общему знаменателю, должна в качестве такового иметь произведение всех сомножителей, на которые раскладывается многочлен только с кратностями на единицу меньшими, чем кратность их вхождения в разложение

Пример 13. Вычислим

Поскольку подынтегральная функция является правильной дробью и, разложение знаменателя в произведение тоже известно, то сразу ищем разложение

нашей дроби в сумму простейших дробей.

Приведя правую часть равенства (14) к общему знаменателю, имеем

Приравнивая соответствующие коэффициенты числителей, получаем систему

из которой находим

Заметим, что в данном случае эти числа можно было бы найти и в уме. Действительно, домножая (14) на и полагая затем в полученном равенстве справа получим А, а слева — значение при дроби, полученной из нашей вычеркиванием в знаменателе сомножителя

Аналогично можно было бы найти В и С.

Итак,

Пример 14. Вычислим первообразную функции

Прежде всего заметим, что дробь не является правильной, поэтому, раскрыв скобки и найдя знаменатель дроби делим на него числитель, после чего получаем

а затем уже ищем разложение правильной дроби

Конечно, разложение можно найти каноническим путем, выписав систему шести уравнений с шестью неизвестными. Однако вместо этого мы продемонстрируем иные, иногда используемые, технические возможности.

Коэффициент А находим, домножив равенство (15) на и положив затем

Перенесем дробь с уже известным значением в левую часть равенства (15). Тогда получим

откуда, домножая (16) на и полагая затем находим

Перенося теперь дробь в левую часть равенства (16), получим

Приводя правую часть равенства (17) к общему знаменателю, приравниваем числители

откуда следует, что

или

Теперь нам известны все коэффициенты в равенстве (15). Первые две дроби при интегрировании дают соответственно . Далее,

где

что следует из (12) и (13).

Наконец,

Собирая все интегралы, окончательно имеем

Рассмотрим теперь некоторые часто встречающиеся неопределенные интегралы, вычисление которых может быть сведено к отысканию первообразной рациональной функции.