2. Функция, дифференцируемая в точке.

Начнем с двух предварительных определений, которые мы чуть ниже несколько уточним.

Определение Функция определенная на множестве называется дифференцируемой в точке , предельной для множества Е, если существует такая линейная относительно приращения аргумента функция что приращение функции представляется в виде

Иными словами, функция дифференцируема в точке а, если изменение ее значений в окрестности исследуемой точки линейно с точностью до поправки, бесконечно малой по сравнению с величиной х — а смещения от точки а.

Замечание. Как правило, дело приходится иметь с функциями, определенными в целой окрестности рассматриваемой точки, а не только на каком-то подмножестве этой окрестности.

Определение Линейная функция из (9) называется дифференциалом функции в точке а.

Дифференциал функции в точке определен однозначно, ибо из (9) следует

и в силу единственности предела число А определено однозначно. Определение 1. Величина

называется производной функции в точке а.

Соотношение (10) можно переписать в эквивалентной форме

где при что в свою очередь равносильно соотношению

Таким образом, дифференцируемость функции равносильна наличию у нее производной в соответствующей точке.

Если сопоставить эти определения с тем, что было сказано в пункте 1, то можно заключить, что производная характеризует скорость изменения функции в рассматриваемой точке, а дифференциал доставляет наилучшую линейную аппроксимацию приращения функции в окрестности рассматриваемой точки.

Если функция дифференцируема в различных точках множества Е, то при переходе от одной точки к другой как величина А, так и функция в (9) могут меняться (к чему мы уже явно пришли в Указанное обстоятельство следует отметить уже в самом определении дифференцируемой функции, и мы приведем теперь это основное определение в его полной записи.

Определение 2. Функция заданная на множестве Е С К, называется дифференцируемой в точке , предельной для множества Е, если

где — линейная относительно функция, при

Величины

и

называют соответственно приращением аргумента и приращением функции (соответствующим этому приращению аргумента).

Их часто (правда, не вполне законно) обозначают символами самих функций от

Итак, функция дифференцируема в точке, если ее приращение в этой точке как функция приращения аргумента является линейной с точностью до поправки, бесконечно малой при в сравнении с приращением аргумента.

Определение 3. Линейная по функция из определения 2 называется дифференциалом функции в точке и обозначается символом или

Таким образом,

Из определений 2, 3 имеем

причем при разность между приращением функции, вызванным приращением ее аргумента, и значением при том же

линейной по функции оказывается бесконечно малой выше чем первого порядка по

По этой причине говорят, что дифференциал есть (главная) линейная часть приращения функции.

Как следует из соотношения (12) и определения 1,

поэтому дифференциал можно записать в виде

В частности, если то, очевидно, и

поэтому иногда говорят, что «дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением».

Учитывая это равенство, из (13) получаем

т. е.

Равенство (15) надо понимать как равенство функций от

Из (14) получаем

т. е. функция (отношение функций постоянна и равна

По этой причине, следуя Лейбницу, производную часто обозначают символом наряду с предложенным впоследствии Лагранжем символом

В механике, кроме указанных символов, для обозначения производной от функции по времени используется символ (читается с точкой от