2. Простейший вариант теоремы о неявной функции.

В этом параграфе теорема о неявной функции будет получена очень наглядным, но не очень эффективным методом, приспособленным только к случаю вещественнозначных функций вещественных переменных. С другим, во многих отношениях более предпочтительным способом получения этой теоремы, как и с более детальным анализом ее структуры, читатель сможет познакомится в главе X (часть II), а также в задаче 4, помещенной в конце параграфа.

Следующее утверждение является простейшим вариантом теоремы о неявной функции.

Утверждение 1. Если функция определенная в окрестности точки , такова что

то существуют двумерный промежуток где

являющийся содержащейся в окрестностью точки и такая функция что для любой точки

причем производная функции в точках может быть вычислена по формуле

Прежде чем приступить к доказательству, дадим несколько возможных переформулировок заключительного соотношения (4), которые должны заодно прояснить смысл самого этогд соотношения.

Утверждение 1 говорит о том, что при условиях 1°, 2°, 3° порция множества, определяемого соотношением попавшая в окрестность точки является графиком некоторой функции класса

Иначе можно сказать, что в пределах окрестности I точки Уравнение однозначно разрешимо относительно у, а функция является этим решением, т. е. на

Отсюда в свою очередь следует, что если — функция, определенная на про которую известно, что она удовлетворяет соотношению на и что то при условии непрерывности этой функции в точке можно утверждать, что найдется окрестность точки такая, что и тогда при .

Без предположения непрерывности функции в точке и условия последнее заключение могло бы оказаться неправильным, что видно на уже разобранном выше примере с окружностью.

Теперь докажем утверждение 1.

Пусть для определенности Поскольку то также в некоторой окрестности точки Чтобы не вводить

новых обозначений, без ограничения общности можно считать, что в любой точке исходной окрестности

Более того, уменьшая, если нужно, окрестность можно считать ее кругом некоторого радиуса с центром в точке

Поскольку то функция от у определена и монотонно возрастает на отрезке следовательно,

В силу непрерывности функции в найдется положительное число такое, что при будут выполнены соотношения

Покажем теперь, что прямоугольник где

является искомым двумерным промежутком, в котором выполняется соотношение (4).

При каждом фиксируем вертикальный отрезок с концами Рассматривая на нем как функцию от у, мы получаем строго возрастающую непрерывную функцию, принимающую значения разных знаков на концах отрезка. Следовательно, при найдется единственная точка такая, что Полагая мы приходим к соотношению (4).

Теперь установим, что

Покажем сначала, что функция непрерывна в точке и что Уо-Последнее равенство, очевидно, вытекает из того, что при имеется единственная точка такая, что Вместе с тем по условию поэтому

Фиксировав число мы можем повторить доказательство существования функции и найти число так, что в двумерном промежутке где

будет выполнено соотношение

с некоторой вновь найденной функцией

Но поэтому из (4) и (6) следует, что при Тем самым проверено, что при

Мы установили непрерывность функции в точке Но любая точка в которой также может быть принята в качестве исходной точки построения, ибо в ней выполнены условия 2°, 3°. Выполнив это построение в пределах промежутка мы бы в силу (4) вновь пришли к соответствующей части функции рассматриваемой в окрестности точки х. Значит, функция непрерывна в точке Таким образом, установлено, что

Покажем теперь, что и установим формулу (5).

Пусть число таково, что Пусть . Применяя в пределах промежутка I к функции теорему о среднем, находим, что

откуда, учитывая, что получаем

Поскольку то при также и, учитывая, что из (7) в пределе при получаем

где Тем самым формула (5) установлена.

В силу теоремы о непрерывности композиции функций, из формулы (5) вытекает, что

Если то правая часть формулы (5) допускает дифференцирование по и мы находим, что

где вычисляются в точке

Таким образом, если Поскольку порядок производных от входящих в правую часть соотношений (5), (5) и т. д., на единицу ниже, чем порядок производной от стоящей в левой части равенства, то по индукции получаем, что если

Пример 1. Вернемся к рассмотренному выше соотношению (1), задающему окружность в и проверим на этом примере утверждение 1.

В данном случае

и очевидно, что . Далее,

поэтому , если . Таким образом, в силу утверждения 1, для любой точки данной окружности, отличной от точек найдется такая окрестность, что попадающая в нее дуга окружности может быть записана в виде Непосредственное вычисление подтверждает это, причем или

Далее, в силу утверждения 1,

Непосредственное вычисление дает

что можно записать одним выражением

вычисление по которому приводит к тому же результату

что и вычисление по формуле (8), полученной из утверждения 1.

Важно заметить, что формула (5) или (8) позволяет вычислять даже не располагая явным выражением зависимости если нам только известно, что Задание же условия необходимо для выделения той порции линии уровня которую мы намереваемся представить в виде

На примере окружности видно, что задание только координаты еще не определяет дугу окружности и, только фиксировав мы выделяем одну из двух возможных в данном случае дуг.