5. Работа и энергия.

Энергетические затраты, связанные с перемещением тела под действием постоянной силы в направлении действия силы, измеряют произведением величины силы на величину перемещения. Эта величина называется работой силы на данном перемещении. В общем случае направление данной силы и перемещение могут быть неколлинеарны (например, везем за веревочку санки), и тогда работа определяется как скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения.

Рассмотрим некоторые примеры вычисления работы и использования связанного с ней понятия энергии.

Пример 7. Работа, которую нужно совершить против силы тяжести, чтобы поднять вертикально вверх тело массы с уровня над поверхностью Земли на уровень в силу данного определения равна Предполагается, что вся операция происходит у поверхности Земли, когда изменением силы тяжести можно пренебречь. Общий случай разобран в примере 10.

Пример 8. Пусть имеется идеально упругая пружина, один конец которой закреплен в точке 0 числовой оси, а другой находится в точке х. Известно, что сила, с которой при этом приходится удерживать этот конец пружины, равна где к — коэффициент жесткости пружины.

Вычислим работу, которую надо совершить, чтобы переместить подвижный конец пружины из положения в положение

Считая работу аддитивной функцией промежутка и принимая, что верны оценки

получаем в силу утверждения 1, что

Это работа против силы. Работа же самой силы пружины на том же перемещении отличается только знаком.

Функция которую мы нашли, позволяет, вычислять работу, которую мы совершаем, меняя состояние пружины, а значит, и ту работу, которую пружина может совершить при возвращении в исходное состояние. Такая функция зависящая только от конфигурации системы, называется потенциальной энергией системы. Из построения видно, что производная от нее дает силу пружины с обратным знаком.

Если точка массы движется вдоль оси под действием указанной упругой силы, то ее координата как функция времени удовлетворяет уравнению

Мы уже однажды проверяли (см. гл. V, § 6, п. 6), что величина

представляющая из себя сумму кинетической и (как мы теперь понимаем) потенциальной энергий системы, остается во время движения постоянной.

Пример 9. Теперь рассмотрим еще один пример. В нем встретится сразу целый ряд понятий, которые мы ввели и освоили в дифференциальном и интегральном исчислении.

Заметим сначала, что по аналогии с функцией (12), записанной для конкретной механической системы, удовлетворяющей уравнению (11), для произвольного уравнения вида

где — заданная функция, можно проверить, что сумма

не меняется со временем, если

Действительно,

Таким образом, из (14), считая Е постоянной величиной, последовательно находим

(где знак корня должен соответствовать знаку производной затем

и, наконец,

Следовательно, используя закон сохранения «энергии» (14) уравнения (13), нам удалось в принципе решить это уравнение, но найдя не функцию обратную к ней функцию

Уравнение (13) возникает, например, при описании движения точки вдоль заданной кривой. Пусть частица перемещается под действием силы тяжести по узкому идеально гладкому желобу (рис. 49).

Рис. 49

Пусть — расстояние вдоль желоба (т. е. длина пути) от некоторой фиксированной точки О — начала отсчета — до точки, в которой находится частица в момент Ясно, что тогда есть величина скорости частицы, — величина тангенциальной составляющей ее ускорения, которая должна равняться величине тангенциальной составляющей силы тяжести в данной точке желоба. Ясно также, что тангенциальная составляющая силы тяжести зависит только от точки желоба, т. е. зависит только от ибо можно считать параметром, параметризующим кривую, с которой мы отождествляем желоб. Если эту составляющую силы тяжести обозначить через то мы получим, что

Для данного уравнения сохраняться будет величина

где

Поскольку слагаемое есть кинетическая энергия точки, а движение вдоль желоба происходит без трения, то можно, минуя вычисления, догадаться, что функция с точностью до постоянного слагаемого должна иметь вид где — потенциальная энергия точки, находящейся на высоте в папе тяжести.

Если в начальный момент было то из соотношения

находим, что поэтому

В частности, если, как в случае маятника, точка движется вдоль окружности радиуса , отсчет длины ведется от нижней точки О окружности, а начальные условия состоят в том, что при и дан начальный угол отклонения (рис. 50), то, как легко проверить, выражая через угол отклонения , получим

или

Рис. 50

Таким образом, для полупериода - Т качания маятника получаем

откуда после подстановки находим

где

Напомним, что функция

называется эллиптическим интегралом первого рода в форме Лежандра. При она зависит только от обозначается и называется полным

эллиптическим интегралом первого рода. Таким образом, период колебаний маятника равен

Если угол начального отклонения мал, то можно положить и тогда получим приближенную формулу

Теперь, когда формула (18) получена, все же следует проанализировать весь ход рассуждений, и тогда мы заметим, что под знаками интегралов стоят неограниченные на отрезке интегрирования функции. Подобная трудность нам уже встречалась при рассмотрении длины кривой, и мы примерно представляем себе, как и какой смысл можно придать интегралам

Но раз этот вопрос возник вторично, то его следует разобрать в точной математической постановке, что и будет сделано в следующем параграфе.

Пример 10. Тело массы совершает подъем над поверхностью Земли по траектории где — время, а — декартовы координаты точки в пространстве. Необходимо вычислить работу тела против силы тяжести на промежутке времени

Работа есть аддитивная функция промежутка

Постоянная сила при действии на тело, движущееся с постоянной скоростью за время совершает работу поэтому представляется естественной оценка

где — скорость тела в момент — точка пространства, в которой находится тело в момент — сила, которая в точке действует на тело.

Если функция окажется интегрируемой, то в силу утверждения 1 мы должны считать, что

В нашем случае и если то по закону всемирного тяготения находим

где М — масса Земли, а ее центр предполагается совпадающим с началом системы координат.

Тогда

поэтому

Итак,

Мы обнаружили, что искомая работа зависит только от величин удаления тела от центра Земли в начальный и конечный моменты времени рассматриваемого промежутка

Полагая

получаем, что работа против силы тяжести по перемещению тела массы из любой точки сферы радиуса в любую точку сферы радиуса вычисляется по формуле

Функция называется потенциалом Ньютона. Если через обозначить радиус Земли, то, поскольку функцию можно переписать в виде

Учитывая это, можно получить следующее выражение для работы, необходимой для выхода из поля тяготения Земли, точнее, для увода массы с поверхности Земли на бесконечное расстояние от центра Земли. Под этой величиной естественно понимать предел

Итак, работа выхода:

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)