Главная > Математический анализ. Часть I. (Зорич В.А.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5. Работа и энергия.

Энергетические затраты, связанные с перемещением тела под действием постоянной силы в направлении действия силы, измеряют произведением величины силы на величину перемещения. Эта величина называется работой силы на данном перемещении. В общем случае направление данной силы и перемещение могут быть неколлинеарны (например, везем за веревочку санки), и тогда работа определяется как скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения.

Рассмотрим некоторые примеры вычисления работы и использования связанного с ней понятия энергии.

Пример 7. Работа, которую нужно совершить против силы тяжести, чтобы поднять вертикально вверх тело массы с уровня над поверхностью Земли на уровень в силу данного определения равна Предполагается, что вся операция происходит у поверхности Земли, когда изменением силы тяжести можно пренебречь. Общий случай разобран в примере 10.

Пример 8. Пусть имеется идеально упругая пружина, один конец которой закреплен в точке 0 числовой оси, а другой находится в точке х. Известно, что сила, с которой при этом приходится удерживать этот конец пружины, равна где к — коэффициент жесткости пружины.

Вычислим работу, которую надо совершить, чтобы переместить подвижный конец пружины из положения в положение

Считая работу аддитивной функцией промежутка и принимая, что верны оценки

получаем в силу утверждения 1, что

Это работа против силы. Работа же самой силы пружины на том же перемещении отличается только знаком.

Функция которую мы нашли, позволяет, вычислять работу, которую мы совершаем, меняя состояние пружины, а значит, и ту работу, которую пружина может совершить при возвращении в исходное состояние. Такая функция зависящая только от конфигурации системы, называется потенциальной энергией системы. Из построения видно, что производная от нее дает силу пружины с обратным знаком.

Если точка массы движется вдоль оси под действием указанной упругой силы, то ее координата как функция времени удовлетворяет уравнению

Мы уже однажды проверяли (см. гл. V, § 6, п. 6), что величина

представляющая из себя сумму кинетической и (как мы теперь понимаем) потенциальной энергий системы, остается во время движения постоянной.

Пример 9. Теперь рассмотрим еще один пример. В нем встретится сразу целый ряд понятий, которые мы ввели и освоили в дифференциальном и интегральном исчислении.

Заметим сначала, что по аналогии с функцией (12), записанной для конкретной механической системы, удовлетворяющей уравнению (11), для произвольного уравнения вида

где — заданная функция, можно проверить, что сумма

не меняется со временем, если

Действительно,

Таким образом, из (14), считая Е постоянной величиной, последовательно находим

(где знак корня должен соответствовать знаку производной затем

и, наконец,

Следовательно, используя закон сохранения «энергии» (14) уравнения (13), нам удалось в принципе решить это уравнение, но найдя не функцию обратную к ней функцию

Уравнение (13) возникает, например, при описании движения точки вдоль заданной кривой. Пусть частица перемещается под действием силы тяжести по узкому идеально гладкому желобу (рис. 49).

Рис. 49

Пусть — расстояние вдоль желоба (т. е. длина пути) от некоторой фиксированной точки О — начала отсчета — до точки, в которой находится частица в момент Ясно, что тогда есть величина скорости частицы, — величина тангенциальной составляющей ее ускорения, которая должна равняться величине тангенциальной составляющей силы тяжести в данной точке желоба. Ясно также, что тангенциальная составляющая силы тяжести зависит только от точки желоба, т. е. зависит только от ибо можно считать параметром, параметризующим кривую, с которой мы отождествляем желоб. Если эту составляющую силы тяжести обозначить через то мы получим, что

Для данного уравнения сохраняться будет величина

где

Поскольку слагаемое есть кинетическая энергия точки, а движение вдоль желоба происходит без трения, то можно, минуя вычисления, догадаться, что функция с точностью до постоянного слагаемого должна иметь вид где потенциальная энергия точки, находящейся на высоте в папе тяжести.

Если в начальный момент было то из соотношения

находим, что поэтому

В частности, если, как в случае маятника, точка движется вдоль окружности радиуса , отсчет длины ведется от нижней точки О окружности, а начальные условия состоят в том, что при и дан начальный угол отклонения (рис. 50), то, как легко проверить, выражая через угол отклонения , получим

или

Рис. 50

Таким образом, для полупериода - Т качания маятника получаем

откуда после подстановки находим

где

Напомним, что функция

называется эллиптическим интегралом первого рода в форме Лежандра. При она зависит только от обозначается и называется полным

эллиптическим интегралом первого рода. Таким образом, период колебаний маятника равен

Если угол начального отклонения мал, то можно положить и тогда получим приближенную формулу

Теперь, когда формула (18) получена, все же следует проанализировать весь ход рассуждений, и тогда мы заметим, что под знаками интегралов стоят неограниченные на отрезке интегрирования функции. Подобная трудность нам уже встречалась при рассмотрении длины кривой, и мы примерно представляем себе, как и какой смысл можно придать интегралам

Но раз этот вопрос возник вторично, то его следует разобрать в точной математической постановке, что и будет сделано в следующем параграфе.

Пример 10. Тело массы совершает подъем над поверхностью Земли по траектории где — время, а — декартовы координаты точки в пространстве. Необходимо вычислить работу тела против силы тяжести на промежутке времени

Работа есть аддитивная функция промежутка

Постоянная сила при действии на тело, движущееся с постоянной скоростью за время совершает работу поэтому представляется естественной оценка

где — скорость тела в момент — точка пространства, в которой находится тело в момент — сила, которая в точке действует на тело.

Если функция окажется интегрируемой, то в силу утверждения 1 мы должны считать, что

В нашем случае и если то по закону всемирного тяготения находим

где М — масса Земли, а ее центр предполагается совпадающим с началом системы координат.

Тогда

поэтому

Итак,

Мы обнаружили, что искомая работа зависит только от величин удаления тела от центра Земли в начальный и конечный моменты времени рассматриваемого промежутка

Полагая

получаем, что работа против силы тяжести по перемещению тела массы из любой точки сферы радиуса в любую точку сферы радиуса вычисляется по формуле

Функция называется потенциалом Ньютона. Если через обозначить радиус Земли, то, поскольку функцию можно переписать в виде

Учитывая это, можно получить следующее выражение для работы, необходимой для выхода из поля тяготения Земли, точнее, для увода массы с поверхности Земли на бесконечное расстояние от центра Земли. Под этой величиной естественно понимать предел

Итак, работа выхода:

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru