4. Представление функции степенным рядом, аналитичность.

Функция комплексного переменного с комплексными значениями определенная на некотором множестве , есть отображение . График такой функции есть подмножество в и поэтому традиционной наглядности не имеет. Чтобы как-то компенсировать эту потерю, обычно берут два экземпляра комплексной плоскости С и в одном отмечают точки области определения, а в другом — точки области значений.

В рассмотренных ниже примерах указаны область Е и ее образ при соответствующем отображении.

Пример 9.

Рис. 37

Пример 10.

Рис. 38

Пример 11.

Рис. 39

Это следует из того, что т. е. произошел поворот на угол

Пример 12.

Рис. 40

Ибо если то

Пример 13.

Рис. 41

Пример 14.

Рис. 42

Из примеров 12, 13 понятно, что в данном случае образом единичного круга снова будет единичный круг, но только накрытый в два слоя.

Пример 15.

Рис. 43

Если то в силу поэтому в нашем случае образом круга радиуса будет круг радиуса и каждая точка последнего является образом точек исходного круга (расположенных, кстати, в вершинах правильного -угольника).

Исключение в этом смысле составляет только точка прообраз которой есть точка Однако при функция есть бесконечно малая порядка поэтому говорят, что при функция имеет нуль порядка . С учетом такой кратности нуля можно теперь говорить, что число прообразов любой точки при отображении равно . В частности, уравнение имеет совпадающих корней .

В соответствии с общим определением непрерывности, функция комплексного переменного называется непрерывной в точке , если для любой окрестности ее значения найдется окрестность такая, что при любом будет Короче говоря,

Производной функции в точке как и для вещественного случая, назовем величину

если этот предел существует.

Равенство (31) эквивалентно равенству

при соответствующему определению дифференцируемости функции в точке

Поскольку определение дифференцируемости в комплексном случае совпадает с соответствующим определением для вещественных функций, а арифметические свойства поля С и поля одинаковы, то можно сказать, что все общие правила дифференцирования справедливы и в комплексном случае.

Пример 16.

поэтому если то или если если

то

Теорема 1. Сумма степенного ряда — бесконечно дифференцируемая функция во всем круге сходимости ряда. При этом

и

Выражения для коэффициентов очевидным образом получаются из выражений для при

В свою очередь, формулы для достаточно проверить только при ибо тогда снова окажется суммой степенного ряда.

Итак, проверим, что функция действительно является производной для

Прежде всего заметим, что в силу формулы Коши—Адамара (17) радиус сходимости последнего ряда совпадает с радиусом сходимости исходного степенного ряда для

В дальнейшем для упрощения записи будем считать, что т. е. что и ряды сходятся при

Поскольку внутри круга сходимости степенной ряд сходится абсолютно, можно заметить, и это существенно, что при справедлива оценка ряд сходится. Значит, для любого найдется номер такой, что при

Таким образом, с точностью до - функция в любой точке круга совпадает с частичной суммой определяющего ее ряда.

Пусть теперь произвольные точки этого круга. Преобразование

и оценка позволяют, как и выше, заключить, что интересующее нас разностное отношение при совпадает, с точностью до частичной суммой определяющего его ряда. Значит, при

Если теперь, фиксировав устремить то, переходя к пределу в конечной сумме, видим, что при достаточно близких к правая часть последнего неравенства, а с нею и левая становятся меньше е.

Таким образом, для любой точки в круге ввиду произвольности и для любой точки круга проверено, что

Эта теорема позволяет точно указать тот класс функций, для которых их ряды Тейлора сходятся к ним.

Говорят, что функция аполитична в точке , если в некоторой окрестности этой точки ее можно представить в следующем («аналитическом») виде:

т. е. как сумму степенного ряда по степеням

Нетрудно проверить (см. задачу 7), что сумма степенного ряда аналитична в любой внутренней точке круга сходимости этого ряда.

С учетом определения аналитичности функции, из доказанной теоремы получаем

Следствие, а) Если функция аналитична в точке, то она бесконечно дифференцируема в этой точке и ее ряд Тейлора сходится к ней в окрестности этой точки.

Ряд Тейлора функции, определенной в окрестности точки и бесконечно дифференцируемой в точке, сходится к функции в некоторой окрестности точки тогда и только тогда, когда функция аналитична в этой точке.

В теории функции комплексного переменного доказывается замечательный факт, не имеющий аналогов для вещественных функций. А именно, оказывается, что если функция дифференцируема в окрестности точки , то она аналитична в этой точке. Это и в самом деле удивительно, поскольку в силу доказанной выше теоремы отсюда следует, что если функция имеет одну производную в окрестности точки, то в этой окрестности она имеет также производные всех порядков.

На первый взгляд это так же неожиданно, как то, что, присоединив к М корень одного конкретного уравнения мы получаем поле С, в котором любой алгебраический многочлен имеет корень. Факт разрешимости в С алгебраического уравнения мы собираемся использовать и поэтому докажем его в качестве хорошей иллюстрации к введенным в этом параграфе начальным представлениям о комплексных числах и функциях комплексного переменного.