2. Мощность континуума

Определение 2. Множество Е действительных чисел называют также числовым континуумома его мощность — мощностью континуума.

Теорема (Кантор).

Теорема утверждает, что бесконечное множество Е имеет мощность большую, чем бесконечное множество

Покажем, что уже множество точек отрезка [0,1] несчетно.

Предположим, что оно счетно, т. е. может быть записано в виде последовательности Возьмем точку и на отрезке фиксируем отрезок ненулевой длины, не содержащий точку . В отрезке строим отрезок 12, не содержащий и если уже построен отрезок то, поскольку в нем строим отрезок так, что По лемме о вложенных отрезках найдется точка с, принадлежащая всем отрезкам Но эта точка отрезка по построению не может совпадать ни с одной из точек последовательности

Следствия. и существуют иррациональные числа.

2) Существуют трансцендентные числа, поскольку множество алгебраических чисел счетно.

(После решения задачи 3, помещенной в конце параграфа, читатель, наверное, захочет переиначить последнее утверждение и сформулировать его так: «В множестве действительных чисел иногда встречаются также и алгебраические

Уже на заре теории множеств возник вопрос о том, существуют ли множества промежуточной мощности между счетными множествами и множествами мощности континуума, и было высказано предположение, называемое гипотезой континуума, что промежуточные мощности отсутствуют.

Вопрос оказался глубоко затрагивающим основания математики. Он был окончательно решен в 1963 г. современным американским математиком П. Коэном. Коэн доказал неразрешимость гипотезы континуума, показав, что и она сама, и ее отрицание порознь не противоречат принятой в теории множеств аксиоматике, а потому гипотеза континуума не может быть ни доказана, ни опровергнута в рамках этой аксиоматики, — ситуация, вполне аналогичная независимости пятого постулата Евклида о параллельных от остальных аксиом геометрии.