3. Зависимость функций

Определение 2. Говорят, что система непрерывных функций является функционально независимой в окрестности точки если для любой непрерывной функции определенной в окрестности точки соотношение

в окрестности точки возможно только в случае, когда в окрестности точки

Линейная независимость, рассматривавшаяся в алгебре, есть независимость по отношению к линейным соотношениям

Если система не является функционально независимой, то ее называют функционально зависимой.

В случае линейной зависимости векторов один из них, очевидно, является линейной комбинацией остальных. Аналогичная ситуация имеет место и в отношении функционально зависимой системы гладких функций.

Утверждение 1. Если система гладких функций, определенных в окрестности точки такова, что ранг матрицы

в любой точке один и тот же и равен к, то при система функционально независима в окрестности при найдутся окрестность точки и такие к функций системы, пусть что остальные функций системы в этой окрестности представляются в виде

где — гладкие функции, определенные в окрестности точки и зависящие только от к координат текущей точки

В самом деле, если то в силу замечания 1 к теореме о ранге при отображении

образ окрестности рассматриваемой точки содержит целую окрестность точки Но тогда соотношение

в окрестности возможно только при условии, что

в окрестности точки Этим утверждение а) доказано.

Если же и ранг к отображения (15) реализуется уже на функциях то в силу замечания 2 к теореме о ранге найдется такая окрестность точки к определенных в ней функций того же порядка гладкости, как и функции системы, что в некоторой окрестности точки будут выполнены соотношения (14). Этим доказано утверждение

Мы показали, что если то найдутся специальных функций устанавливающих соотношения

между функциями системы в окрестности точки