ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

§ 1. Логическая символика

1. Связки и скобки.

Язык этой книги, как и большинства математических текстов, состоит из обычного языка и ряда специальных символов излагаемых теорий. Наряду с этими специальными символами, которые будут вводиться по мере надобности, мы используем распространенные символы математической логики для обозначения соответственно отрицания «не» и связок «или», «влечет», «равносильно».

Возьмем, например, три представляющих и самостоятельный интерес высказывания:

L. «Если обозначения удобны для открытий то поразительным образом сокращается работа мысли» Лейбниц).

Р. «Математика — это искусство называть разные вещи одинаковыми именами» (А. Пуанкаре).

G. «Великая книга природы написана языком математики» (Г. Галилей).

Тогда в соответствии с указанными обозначениями:

Мы видим, что пользоваться только формальными обозначениями, избегая разговорного языка, — не всегда разумно.

Мы замечаем, кроме того, что в записи сложных высказываний, составленных из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту же синтаксическую функцию, что и при записи алгебраических выражений. Как и в алгебре, для экономии скобок можно договориться о «порядке действий». Условимся с этой целью о следующем порядке приоритета символов:

При таком соглашении выражение следует расшифровать как соотношение — как , но не как .

Записи , означающей, что А влечет В или, что то же самое, В следует из А, мы часто будем придавать другую словесную интерпретацию, говоря, что В есть необходимый признак или необходимое условие А и, в свою очередь, А — достаточное условие или достаточный признак В. Таким образом, соотношение А В можно прочитать любым из следующих способов:

А необходимо и достаточно для В;

А тогда и только тогда, когда В;

А, если и только если В;

А равносильно В.

Итак, запись А В означает, что А влечет В и, одновременно, В влечет А.

Употребление союза и в выражении пояснений не требует.

Следует, однако, обратить внимание на то, что в выражении союз или неразделительный, т. е. высказывание считается верным, если истинно хотя бы одно из высказываний А, В. Например, пусть х — такое

действительное число, что Тогда можно написать, что имеет место следующее соотношение:

2. Замечания о доказательствах.

Типичное математическое утверждение имеет вид , где А — посылка, заключение. Доказательство такого утверждения состоит в построении цепочки следствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо является уже доказанным утверждением

В доказательствах мы будем придерживаться классического правила вывода: если А истинно и , то В тоже истинно.

При доказательстве от противного мы будем использовать также принцип исключенного третьего, в силу которого высказывание (А или не А) считается истинным независимо от конкретного содержания высказывания А. Следовательно, мы одновременно принимаем, что , т. е. повторное отрицание равносильно исходному высказыванию.

3. Некоторые специальные обозначения.

Для удобства читателя и сокращения текста начало и конец доказательства условимся отмечать знаками соответственно.

Условимся также, когда это будет удобно, вводить определения посредством специального символа (равенство по определению), в котором двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

определяет левую часть посредством правой части, смысл которой предполагается известным.

Аналогично вводятся сокращенные обозначения для уже определенных выражений. Например, запись

вводит обозначение для стоящей слева суммы специального вида.

4. Заключительные замечания.

Отметим, что мы здесь говорили, по существу, только об обозначениях, не анализируя формализм логических выводов и не касаясь глубоких вопросов истинности, доказуемости, выводимости, составляющих предмет исследования математической логики.

Как же строить математический анализ, если мы не имеем формализации логики? Некоторое утешение тут может состоять в том, что мы всегда знаем или, лучше сказать, умеем больше, чем способны в данный момент формализовать. Пояснением смысла последней фразы может служить известная притча о том, что сороконожка даже ходить разучилась, когда ее попросили объяснить, как именно она управляется со всеми своими конечностями.

Опыт всех наук убеждает нас в том, что считавшееся ясным или простым и нерасчленяемым вчера может подвергнуться пересмотру или уточнению сегодня. Так было (и, без сомнения, еще будет) и с многими понятиями математического анализа, важнейшие теоремы и аппарат которого были открыты еще в XVII—XVIII веках, но приобрели современный формализованный, однозначно трактуемый и, вероятно, потому общедоступный вид лишь после создания теории пределов и необходимой для нее логически полноценной теории действительных чисел (XIX век).

Именно с этого уровня теории действительных чисел мы и начнем в главе II построение всего здания анализа.

Как уже отмечалось в предисловии, желающие быстрее ознакомиться с основными понятиями и эффективным аппаратом собственно дифференциального и интегрального исчисления могут начать сразу с III главы, возвращаясь к отдельным местам первых двух глав лишь по мере необходимости.

Упражнения

Будем отмечать истинные высказывания символом 1, а ложные — символом 0. Тогда каждому из высказываний можно сопоставить так называемую таблицу истинности, которая указывает его истинность в зависимости от истинности высказываний А, В. Эти таблицы являются формальным определением логических операций Вот они:

1. Проверьте, все ли в этих таблицах согласуется с вашим представлением о соответствующей логической операции. (Обратите, в частности, внимание на то, что если А ложно, то импликация всегда истинна.)

2. Покажите, что справедливы следующие простые, но очень важные и широко используемые в математических рассуждениях соотношения: