5. Еще раз о числе e и функции exp(x).

На примерах мы убедились (см. также задачи 3, 4 в конце параграфа), что целый ряд явлений природы описывается с математической точки зрения одним и тем же дифференциальным уравнением

решение которого однозначно определяется, если указано «начальное условие» Тогда

Число и функцию ехра: мы в свое время ввели довольно формально, сославшись на то, что это действительно важное число и действительно важная функция. Теперь нам ясно, что даже если бы мы не вводили раньше эту функцию, то ее, несомненно, пришлось бы ввести как решение важного, хотя и очень простого уравнения (17). Точнее, достаточно было бы ввести функцию, являющуюся решением уравнения (17) при некотором конкретном значении а, например при ибо общее уравнение (17) приводится к этому случаю после перехода к новой переменной связанной с х соотношением

Действительно, тогда

и вместо уравнения имеем теперь или

Итак, рассмотрим уравнение

и обозначим через то его решение, для которого

Прикинем, согласуется ли это определение с прежним определением функции ехрж.

Попробуем вычислить значение исходя из того, что удовлетворяет уравнению (18). Поскольку — дифференцируемая функция, то непрерывна, но тогда в силу (18) непрерывна и функция Более того, из (18) следует, что имеет также вторую производную и вообще из (18) следует, что — бесконечно дифференцируемая функция. Так как скорость изменения функции непрерывна, то на малом промежутке изменения аргумента функция меняется мало, поэтому Воспользуемся этой приближенной формулой и пройдем отрезок от 0 до с малым шагом где Если то мы будем иметь

Учитывая (18) и условие имеем

Представляется естественным (и это можно доказать), что чем мельче шаг тем точнее приближенная формула

Таким образом, мы приходим к тому, что

В частности, если величину обозначить через и показать, что то получаем, что

ибо мы знаем, что если

Метод численного решения дифференциального уравнения (18), позволивший нам получить формулу (19), был предложен еще Эйлером и называется метподом ломаных Эйлера. Такое название связано с тем, что проведенные выкладки геометрически означают замену решения точнее, его графика, некоторой аппроксимирующей график ломаной, звенья которой на соответствующих участках задаются уравнениями (рис. 46).

Нам встречалось также определение функции ехрж как суммы степенного ряда К нему тоже можно прийти из уравнения (18), если воспользоваться следующим часто применяемым приемом, называемым методом неопределенных коэффициентов. Будем искать решение уравнения (18) в виде суммы степенного ряда

коэффициенты которого подлежат определению.

Рис. 46

Как мы видели (см. § 5, теорема 1), из (20) следует, что в силу и, поскольку имеем если решение имеет вид (20) и то обязательно

Можно было бы независимо проверить, что функция, определяемая этим рядом, действительно дифференцируема (и не только при и что она удовлетворяет уравнению (18) и начальному условию Однако мы не будем на этом останавливаться, ибо наша цель состояла только в том, чтобы понять, согласуется ли введение экспоненциальной функции как решения уравнения (18) при начальном условии с тем, что мы раньше подразумевали под функцией

Заметим, что уравнение (18) можно было бы рассматривать в комплексной области, т. е. считать х произвольным комплексным числом. При этом все проведенные рассуждения останутся в силе, быть может, только частично потеряется геометрическая наглядность метода Эйлера.

Таким образом, естественно ожидать, что функция

является и притом единственным решением уравнения

удовлетворяющим условию