5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции.

Пусть — дифференцируемые функции, определенные в окрестности точки .. Предположим, что функция имеет обратную функцию определенную в окрестности точки Тогда величину зависящую от можно рассматривать также как функцию, неявно зависящую от х, поскольку Найдем производную этой функции по х в точке предполагая, что . Используя теорему о дифференцировании композиции и теорему о дифференцировании обратной функции, получаем

(Здесь использовано стандартное обозначение )

Таблица 1. (см. скан)

Если одна и та же величина рассматривается как функция различных аргументов, то во избежание недоразумений при дифференцировании явно указывают переменную, по которой это дифференцирование проводится, что мы и сделали.

Пример 15. Закон сложения скоростей. Движение точки вдол? прямой вполне определяется, если в каждый момент выбранной нами системы отсчета времени мы знаем координату х точки в выбранной системе координат (числовой оси). Таким образом, пара чисел определяет положение точки в пространстве и во времени. Закон движения точки запишется в виде некоторой функции

Предположим, что движение этой же точки мы хотим описать в терминах другой системы координат К примеру, новая числовая ось движется равномерно со скоростью — относительно первой (вектор скорости в данном случае можно отождествить с задающим его одним числом). Будем для простоты считать, что координаты (0,0) и в той и в другой системе относятся к одной и той же точке или, точнее, что в момент точка совпадала с точкой в которой часы показывали

Тогда один из возможных вариантов связи координат описывающих движение одной и той же точки, наблюдаемое из разных систем координат, доставляют классические преобразования Галилея

Рассмотрим несколько более общую линейную связь

разумеется, в предположении, что эта связь обратима, т. е. определитель матрицы отличен от нуля.

Пусть — закон движения наблюдаемой точки, записанный в этих системах координат.

Зная зависимость из формул (5) найдем

а в силу обратимости преобразований (5), записав

зная можно найти

Из соотношений (6) и (8) видно, что для данной точки существуют взаимно обратные зависимости

Рассмотрим теперь вопрос о связи скоростей

нашей точки, вычисленных в системах координат соответственно.

Используя правило дифференцирования неявной функции и формулы (6), имеем

или

где — координаты одного и того же момента времени в системах Это всегда имеется в виду при сокращенной записи

формулы (9).

В случае преобразований (4) Галилея из (10) получаем классический закон сложения скоростей

Экспериментально с достаточной степенью точности установлено (и это стало одним из постулатов специальной теории относительности), что в вакууме свет всегда распространяется с определенной скоростью с, не зависящей от состояния движения излучающего тела. Это означает, что если в момент в точке происходит вспышка, то через время в системе свет достигнет точек с координатами х такими, что в системе этому событию будут отвечать время и координаты х точек такие, что опять

Таким образом, если то и и обратно. В силу некоторых дополнительных физических соображений следует считать, что вообще

если отвечают одному и тому же событию в различных системах координат, связанных соотношением (5). Условия (12) дают следующие соотношения на коэффициенты преобразования (5):

Если бы было то вместо (13) мы имели бы

откуда легко следует, что общее (с точностью до перемен знака в парах решение Системы (14) может быть дано в виде

где — некоторый параметр.

Тогда общее решение системы (13) имеет вид

и преобразования (5) конкретизируются:

Это — преобразования Лоренца.

Чтобы уяснить себе, каким образом определяется свободный параметр вспомним, что ось х движется со скоростью относительно оси х, т. е. точка этой оси, наблюдаемая из системы имеет скорость Полагая в находим ее закон движения в системе

Таким образом,

Сопоставляя общий закон (10) преобразования скоростей с преобразованиями Лоренца (15), получаем

или, с учетом (16),

Формула (17) есть релятивистский закон сложения скоростей, который при т. е. при с переходит в классический, выраженный формулой (11).

Сами преобразования Лоренца (15) с учетом соотношения (16) можно записать в следующей более естественной форме:

откуда видно, что при , т. е. при с они превращаются в классические преобразования Галилея (4).