3. Площадь криволинейной трапеции.
Рассмотрим фигуру 
(рис. 48), называемую криволинейной трапецией. Фигура ограничена вертикальными отрезками 
отрезком 
оси абсцисс и кривой 
являющейся графиком некоторой интегрируемой на 
функции 
Пусть 
— отрезок, содержащийся в 
.
Обозначим через 
площадь соответствующей ему криволинейной трапеции 
Рис. 48
Наши представления о площади таковы: если 
то
(аддитивность площади) и 
(площадь объемлющей фигуры не меньше площади объемлемой).
Значит, в силу утверждения 1, площадь указанной фигуры надо вычислять по формуле
Пример 5. Используем формулу (9) для подсчета площади эллипса, заданного каноническим уравнением (8).
В силу симметрии фигуры и предполагаемой аддитивности площади, достаточно найти площадь только той части эллипса, которая расположена в первом квадранте, и затем учетверить полученный результат. Проведем вычисления:
По дороге мы сделали замену 
Итак, 
. В частности, при 
получаем формулу 
площади круга радиуса 
Замечание. Необходимо отметить, что формула (9) дает площадь криволинейной трапеции при условии, что 
на 
Если же 
— произвольная интегрируемая функция, то интеграл (9), очевидно, даст алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, лежащих над и под осью абсцисс. Причем площади трапеций, лежащих над осью абсцисс, будут суммироваться со знаком плюс, а площади трапеций, лежащих под осью, — со знаком минус.
