3. Площадь криволинейной трапеции.

Рассмотрим фигуру (рис. 48), называемую криволинейной трапецией. Фигура ограничена вертикальными отрезками отрезком оси абсцисс и кривой являющейся графиком некоторой интегрируемой на функции

Пусть — отрезок, содержащийся в .

Обозначим через площадь соответствующей ему криволинейной трапеции

Рис. 48

Наши представления о площади таковы: если то

(аддитивность площади) и

(площадь объемлющей фигуры не меньше площади объемлемой).

Значит, в силу утверждения 1, площадь указанной фигуры надо вычислять по формуле

Пример 5. Используем формулу (9) для подсчета площади эллипса, заданного каноническим уравнением (8).

В силу симметрии фигуры и предполагаемой аддитивности площади, достаточно найти площадь только той части эллипса, которая расположена в первом квадранте, и затем учетверить полученный результат. Проведем вычисления:

По дороге мы сделали замену

Итак, . В частности, при получаем формулу площади круга радиуса

Замечание. Необходимо отметить, что формула (9) дает площадь криволинейной трапеции при условии, что на Если же — произвольная интегрируемая функция, то интеграл (9), очевидно, даст алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, лежащих над и под осью абсцисс. Причем площади трапеций, лежащих над осью абсцисс, будут суммироваться со знаком плюс, а площади трапеций, лежащих под осью, — со знаком минус.