2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел.

Покажем на примерах, как известные свойства чисел получаются из приведенных аксиом.

а. Следствия аксиом сложения

1° В множестве действительных чисел имеется только один нуль.

Если 0] и — нули в Е, то по определению нуля

2° В множестве действительных чисел у каждого элемента имеется единственный противоположный элемент.

Если — элементы, противоположные , то

Здесь мы использовали последовательно определение нуля, определение противоположного элемента, ассоциативность сложения, снова определение противоположного элемента и, наконец, снова определение нуля.

3° Уравнение

имеет и притом единственное решение

Это вытекает из существования и единственности у каждого элемента противоположного ему элемента:

Выражение записывают также в виде Этой более короткой и привычной записи мы, как правило, и будем придерживаться.

Следствия аксиом умножения

1° В множестве действительных чисел имеется только одна единица.

2° Для каждого числа имеется только один обратный элемент

3° Уравнение при а имеет и притом единственное решение

Доказательства этих утверждений, разумеется, повторяют доказательства соответствующих утверждений для сложения (с точностью до замены символа и названия операции), поэтому мы их опустим.

Следствия аксиомы связи сложения и умножения. Привлекая дополнительно аксиому (I, II), связывающую сложение и умножение, получаем дальнейшие следствия.

1° Для любого

Отсюда, между прочим, видно, что если то

Если, например, , то из единственности решения уравнения относительно х находим

Для любого

и утверждение следует из единственности противоположного элемента.

4° Для любого числа

Следует из 3° и единственности элемента х, противоположного Для любого числа

Мы последовательно воспользовались двумя предыдущими утверждениями, а также коммутативностью и ассоциативностью умножения.

Следствия аксиом порядка. Отметим сначала, что отношение (читается «я меньше или равно у») записывают также в виде («у больше или равно x»); отношение при записывают в виде (читается «х меньше у») или в виде («у больше х») и называют строгим неравенством.

1° Для любых всегда имеет место в точности одно из соотношений:

Это следует из приведенного определения строгого неравенства и аксиом 1 и 3.

2° Для любых чисел из

Приведем для примера доказательство последнего утверждения.

По аксиоме 2 транзитивности отношения неравенства имеем

Осталось проверить, что Но в противном случае

В силу аксиомы 1 отсюда следует

— противоречие.

е. Следствия аксиом связи порядка со сложением и умножением.

Если в дополнение к аксиомам сложения, умножения и порядка использовать аксиомы (I, III), (II, III), связывающие порядок с арифметическими операциями, то можно получить, например, следующие утверждения:

1° Для любых чисел из

Проверим первое из этих утверждений.

По определению строгого неравенства и аксиоме (I, III) имеем

Остается проверить, что . В самом деле,

что несовместимо с условием

Если — числа из Е, то

Проверим первое из этих утверждений. По определению строгого неравенства и аксиоме (II, III)

Кроме того, поскольку, как уже было показано,

Проверим еще, например, и третье утверждение:

Читателю предоставляется возможность доказать самостоятельно остальные соотношения, а также проверить, что если в одной из скобок левой части наших утверждений стоит нестрогое неравенство, то следствием его также будет нестрогое неравенство в правой части.

Если предположить, что то по только что доказанному

Но мы знаем, что для любой пары чисел реализуется и притом только одна из возможностей: Поскольку предположение ведет к несовместимому с ним соотношению то остается единственная возможность, указанная в утверждении.

Проверим первое из этих утверждений.

Прежде всего, Предположив, что получим

Это противоречие завершает доказательство.

Напомним, что числа, которые больше нуля, называются положительными, а числа меньшие нуля — отрицательными.

Таким образом, мы доказали, например, что единица — положительное число, что произведение положительного и отрицательного чисел есть число отрицательное, а величина, обратная положительному числу, также положительна.