2. Точки разрыва.

Для того чтобы лучше освоиться с понятием непрерывности, выясним, что происходит с функцией в окрестности той точки, где она не является непрерывной.

Определение 4. Если функция не является непрерывной в некоторой точке множества Е, то эта точка называется точкой разрыва функции

Построив отрицание к утверждению «функция непрерывна в точке , мы получаем следующую запись определения того, что а — точка разрыва функции

Е — точка разрыва функции

Иными словами, а — точка разрыва функции если найдется такая окрестность значения функции в точке а, что в любой окрестности точки а в множестве Е найдется точка , образ которой не содержится в

В -форме это же определение выглядит так:

Рассмотрим примеры.

Пример 8. Функция постоянна и, значит, непрерывна в окрестности любой точки а отличной от нуля. В любой же окрестности нуля ее колебание равно 2. Значит, 0 — точка разрыва функции Заметим, что функция имеет в точке 0 и предел слева и предел справа но, во-первых, они не совпадают между собой, а во-вторых, ни один из них не совпадает со значением функции в точке 0. Это прямая проверка того, что 0 — точка разрыва функции.

Пример 9. Функция имеет предел при но поэтому и 0 — точка разрыва функции.

Заметим, однако, что в данном случае, изменяя значение функции в точке 0 и полагая его равным 1, мы получим функцию, непрерывную в точке 0, т. е. устраним разрыв.

Определение 5. Если точка разрыва а функции такова, что существует непрерывная функция такая, что называется точкой устранимого разрыва функции .

Таким образом, точка устранимого разрыва характеризуется тем, что существует предел но и достаточно положить

как мы уже получим непрерывную в точке а функцию .

Пример 10. Функция

разрывна в точке 0. При этом она даже не имеет предела при ибо, как было показано в гл. III, § пример 5, не существует предела

График функции - изображен на рис. 12.

Рис. 12

Примеры 8, 9 и 10 поясняют следующую терминологию.

Определение 6. Точка называется точкой разрыва первого рода для функции , если существуют пределы

но по крайней мере один из этих пределов не совпадает со значением функции в точке а.

Определение 7. Если а — точка разрыва функции и в этой точке не существует по меньшей мере один из пределов, указанных в определении 6, то а называется точкой разрыва второго рода.

Таким образом, имеется в виду, что всякая точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, является точкой разрыва второго рода. Приведем еще два классических примера.

Пример 11. Функция

называется функцией Дирихле

Эта функция разрывна во всех точках, причем, очевидно, все ее точки разрыва — второго рода, так как на любом интервале есть как рациональные, так и иррациональные числа.

Пример 12. Рассмотрим функцию Римана

Заметим, что, каковы бы ни были точка а и ее ограниченная окрестность и каково бы ни было число имеется только конечное число рациональных чисел таких, что

Уменьшая окрестность, можно, таким образом, считать, что знаменатели всех рациональных чисел, попадающих в нее (кроме, быть может, числа а, если а уже больше чем Таким образом, в любой точке

Мы показали тем самым, что в любой точке а

Значит, функция Римана непрерывна в любой иррациональной точке. В остальных точках, т. е. в точках функция разрывна, и все эти точки являются точками разрыва первого рода.