Предисловие ко второму русскому изданию

Выход в свет второго русского издания нашей книги — весьма приятное для меня событие. Я всегда с глубоким восхищением относился к замечательному вкладу в нашу науку, сделанному многими выдающимися математиками Советского Союза. Пожалуй, в большей степени, чем в некоторых странах Запада, русская математическая традиция сохранила идеал единства нашей науки и способствовала упрочению роли математики в научных и технических приложениях. На меня также производит сильнейшее впечатление активное участие, которое принимают крупные математики Советской России в деле подъема математического образования. Я рад, что свое место в русской научнопедагогической литературе по математике заняла и наша книга.

Настоящее издание отличается от предыдущих английских и немецких изданий небольшими исправлениями и уточнениями, которыми мы обязаны, в частности, профессору К. Л. Зигелю, Отто Нейгебауэру и другим своим коллегам.

Нью-йоркский университет.

9 мая 1966 г. Р. Курант

Книга Р. Куранта и Г. Роббинса уже издавалась в СССР в 1947 г. Она пользуется большим успехом у любителей математики самых различных возрастов и уровней подготовки, но давно уже стала библиографической редкостью. В серии «Математическое просвещение» она займет свое почетное место.

Перевод, выполненный для первого издания под редакцией покойного проф. В. Л. Гончарова, был выправлен и пополнен по последним английскому (1948) и немецкому (1962) изданиям. Восстановлен также предметный указатель. Список «рекомендуемой литературы» следует оригиналу лишь в части книг, переведенных на русский язык; редакторы русского издания дополнили его рядом книг, имеющихся на русском языке.

Примечания редакторов русского издания немногочисленны. Редакторы, не желая нарушать цельный и впечатляющий стиль книги, не стремились исправлять авторов и восполнять довольно случайный выбор их указаний на историю вопроса и принадлежность отдельных результатов определенным лицам.

Мы рады поблагодарить проф. Р. Куранта за любезное внимание, оказанное им новому изданию книги на русском языке. В своем коротком обращении к русскому читателю он еще раз подчеркивает руководящую идею своей педагогической деятельности: пропаганду органического единства математики и ее неразрывной связи с естествознанием и техникой. При этом имеются в виду не нравоучения об обязанности математиков быть полезными, а наглядная демонстрация того, что живые источники математического творчества неотделимы от интереса к познанию природы и задачам управления природными явлениями.

В новом издании использованы замечания проф. К. Л. Зигеля и проф. Отто Нейгебауэра, которым мы вместе с авторами выражаем искреннюю признательность.

Москва. А. Н. Колмогоров

12 ноября 1966.

Предисловие к первому изданию

На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики являлось необходимой составной частью интеллектуального багажа каждого образованного человека. В наши дни установленному традицией воспитательному значению математики угрожает серьезная опасность. К сожалению, профессиональные представители математической науки в данном случае не свободны от ответственности. Обучение математике нередко приобретало характер стереотипных упражнений в решении задач шаблонного содержания, что, может быть, и вело к развитию кое каких формальных навыков, но не призывало к глубокому проникновению в изучаемый предмет и не способствовало развитию подлинной свободы мысли. Научные исследования обнаруживали тенденцию в сторону чрезмерной абстракции и специализации. Приложениям и взаимоотношениям с иными областями не уделялось достаточно внимания. И все же эти малоблагоприятные предпосылки ни в какой мере не могут послужить оправданием для политики сдачи позиций. Напротив, те, кто умеют понимать значение умственной культуры, не могут не выступить — и уже выступают — на ее защиту. Преподаватели, учащиеся — все, хотя бы и не связанные со школой, образованные люди — требуют не идти по линии наименьшего сопротивления, не складывать оружия, а приступить к конструктивной реформе преподавания. Целью является подлинное понимание существа математики как органического целого и как основы научного мышления и действования.

Несколько блестящих книг биографического и исторического содержания и кое-какие публицистические выступления разбудили в широких кругах, казалось бы безразличных к математике, на самом деле никогда не угасавший к ней интерес. Но знание не может быть достигнуто с помощью одних лишь косвенных средств. Понимание математики не приобретается только безболезненно развлекательными способами — так же, как, например, вы не сможете приобрести музыкальной культуры путем чтения журнальных статей (как бы ярко они ни были написаны), если не научитесь слушать внимательно и сосредоточенно. Нельзя обойтись без действенного соприкосновения с самим содержанием живой математической науки. С другой стороны, следовало бы

избегать всего слишком технического или искусственного, делая изложение математики в одинаковой степени свободным от духа школьной рутины и от мертвящего догматизма, отказывающегося от мотивировок и указания целей, — того самого догматизма, который представляет собой столь неприятное препятствие для честного усилия. Нет ничего невозможного в том, чтобы, начиная от элементов и следуя по прямому пути, добраться до таких возвышенных точек, с которых можно ясно обозреть самую сущность и движущие силы современной математики.

Настоящая книга делает такую именно попытку. Поскольку она не предполагает иных сведений, кроме тех, которые сообщаются в хорошем школьном курсе, ее можно было бы назвать популярной. Но она — не уступка опасной тенденции устранить всякое напряжение мысли и упражнение. Она предполагает известный уровень умственной зрелости и готовность усваивать предлагаемое рассуждение. Книга написана для начинающих и для научных работников, для учащихся и для учителей, для философов и для инженеров; она может быть использована как учебное пособие в учебных заведениях и в библиотеках. Может быть, намерение обратиться к такому широкому кругу читателей является чересчур смелым и самонадеянным. Нужно признать, что под давлением иной работы мы вынуждены были при публикации этой книги искать компромиссы: подготовка велась многие годы, но так и не была по-настоящему закончена. Мы будем рады критике и готовы выслушать пожелания.

Если ответственность за план и философское содержание этой публикации ложится на нижеподписавшегося, то воздаяние ее достоинствам (если таковые имеются) мне подобает разделить с Гербертом Роббинсом. С самого момента присоединения к задуманной работе он отдался ей с увлечением, как своей собственной, и его сотрудничество сыграло решающую роль в окончательном придании книге ее настоящей формы.

Я должен выразить свою глубокую благодарность за помощь многочисленным друзьям. Беседы с Нильсом Бором, Куртом Фридрихом и Отто Нейгебауэром оказали влияние на мои позиции в вопросах философского и исторического характера. Большое количество конструктивных критических замечаний с точки зрения педагога высказала Эдна Крамер. Давид Гильбарг записал лекции, положенные затем в основу книги. Эрнест Курант, Норман Девиде, Чарльз де Прима, Альфред Горн, Герберт Минтцер, Вольфганг Вазов и другие помогли в поистине бесконечной работе по перепечатке рукописи и внесли в нее множество улучшений. Доналд Флендерс внес много ценных предложений и

тщательно выверил рукопись к печати. Джон Кнудсен, Герта фон Гумпенберг, Ирвинг Риттер и Отто Нейгебауэр изготовили чертежи. Часть упражнений для приложения в конце книги исходит от Г. Уитни. Курсы лекций и статьи, положенные в основу книги, были осуществлены благодаря щедрой поддержке Отдела народного образования рокфеллеровского фонда. Я должен также поблагодарить издательство Waverly Press, особенно г-на Гровера К. Орта, за чрезвычайно квалифицированную работу и издательство Oxford University Press, особенно г-на Филипа Водрена и г-на У. Омана, за инициативу и поддержку.

Нью-Рошель, Нью-Йорк, Р. Курант

22 августа 1941 г.

Предисловие ко второму, третьему и четвертому изданиям

В последний год под воздействием совершающихся событий возник усиленный спрос на математическую информацию и соответствующий инструктивный материал. Сейчас больше чем когда-либо существует опасность выхолащивания и разочарований, если только учащиеся (и учителя) не сумеют увидеть и схватить то, что лежит за формулами и преобразованиями, — истинное существо и содержание математики. Именно для тех, кто видит глубже, была написана эта книга, и отклики на первое издание поддерживают в авторах надежду, что она принесет пользу.

Благодарим читателей, чьи критические замечания позволили внести в новые издания многочисленные поправки и улучшения. За большую помощь в подготовке четвертого издания сердечно благодарим г-жу Наташу Артин.

Нью-Рошель, Нью-Йорк, Р. Курант

18 марта 1943 г.

10 октября 1945 г.

28 октября 1947 г.