Что такое математика?
ОглавлениеПредисловие ко второму русскому изданиюКак пользоваться книгой Что такое математика? Глава I. Натуральные числа § 1. Операции над целыми числами 2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация). 3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления. § 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция 2. Арифметическая прогрессия. 3. Геометрическая прогрессия. 4. Сумма n первых квадратов. 5. Одно важное неравенство. 6. Биномиальная теорема. 7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции. Дополнение к главе I Теория чисел 2. Распределение простых чисел. § 2. Сравнения 2. Теорема Ферма. 3. Квадратические вычеты. § 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма § 4. Алгоритм Евклида 2. Применение к основной теореме арифметики 3. Функция Эйлера. Еще раз о теореме Ферма. 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения Глава II. Математическая числовая система § 1. Рациональные числа 2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. 3. Геометрическое представление рациональных чисел. § 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы 2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. 3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии. 4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби. 5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков. 6. Иные методы определения иррациональных чисел.Декиндовы сечения. § 3. Замечания из области аналитической геометрии 2. Уравнения прямых и кривых линий. § 4. Математический анализ бесконечного 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. 3. «Кардинальные числа» Кантора. 4. Косвенный метод доказательства. 5. Парадоксы бесконечного. 6. Основания математики. § 5. Комплексные числа 2. Геометрическое представление комплексных чисел. 3. Формула Муавра и корни из единицы. 4. Основная теорема алгебры. § 6. Алгебраические и трансцендентные числа 2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел. Дополнение к главе II. Алгебра множеств 2. Применение к математической логике. 3. Одно из применений к теории вероятностей. Глава III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра 1. Построение полей и извлечение квадратных корней. 2. Правильные многоугольники. 3. Проблема Аполлония. § 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля 2. Все числа, допускающие построение, — алгебраические. § 3. Неразрешимость трех классических проблем 2. Одна теорема о кубических уравнениях. 3. Трисекция угла. 4. Правильный семиугольник. 5. Замечания по поводу квадратуры круга. Часть 2. Различные методы выполнения построений § 4. Геометрические преобразования. Инверсия 2. Свойства инверсии. 3. Геометрическое построение обратных точек. 4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данного круга с помощью одного циркуля. § 5. Построения с помощью иных инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля 1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба. 2. Построения с помощью одного циркуля. 3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды. 4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта. § 6. Еще об одной инверсии и ее применениях 1. Инвариантность углов. Семейства окружностей. 2. Применение к проблеме Аполлония. 3. Повторные отражения. Глава IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии 1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при преобразованиях. 2. Проективные преобразования. § 2. Основные понятия 1. Группа проективных преобразований. 2. Теорема Дезарга. § 3. Двойное отношение § 4. Параллельность и бесконечность 2. Идеальные элементы и проектирование. 3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами. § 5. Применения 2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. 3. Теорема Паскаля. 4. Теорема Брианшона. 5. Замечание по поводу двойственности. § 6. Аналитическое представление 2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности. § 7. Задачи на построения с помощью одной линейки § 8. Конические сечения и квадрики 2. Проективные свойства конических сечений. 3. Конические сечения как «линейчатые кривые». 4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений. 5. Гиперболоид. § 9. Аксиоматика и неевклидова геометрия 2. Гиперболическая неевклидова геометрия. 3. Геометрия и реальность. 4. Модель Пуанкаре. 5. Эллиптическая, или риманова, геометрия. Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений Глава V. Топология § 1. Формула Эйлера для многогранников § 2. Топологические свойства фигур 2. Свойства связности. § 3. Другие примеры топологических теорем 2. Проблема четырех красок. 3. Понятие размерности. 4. Теорема о неподвижной точке. 5. Узлы. § 4. Топологическая классификация поверхностей 2. Эйлерова характеристика поверхности. 3. Односторонние поверхности. Приложение 2. Теорема Жордана для случая многоугольников. 3. Основная теорема алгебры. Глава VI. Функции и пределы § 1. Независимое переменное и функция 2. Радианная мера углов. 3. График функции. Обратные функции. 4. Сложные функции. 5. Непрерывность. 6. Функции нескольких переменных. 7. Функции и преобразования. § 2. Пределы 2. Монотонные последовательности. 3. Число Эйлера e. 4. Число «пи» 5. Непрерывные дроби. § 3. Пределы при непрерывном приближении 2. Замечания по поводу понятия предела 3. Предел sin x/x 4. Пределы при х -> оо. § 4. Точное определение непрерывности § 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях 2. Доказательство теоремы Больцано. 3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях. 4. Теорема о последовательностях. Компактные множества. § 6. Некоторые применения теоремы Больцано 2. Применение к одной механической проблеме. Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность 4. Разрывные функции как предел непрерывных. 5. Пределы при итерации. § 2. Пример, относящийся к непрерывности Глава VII. Максимумы и минимумы § 1. Задачи из области элементарной геометрии 2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей. 3. Применения к задачам о треугольниках. 4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства. 5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой. § 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи § 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление 2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. 3. Точки минимакса и топология. 4. Расстояние точки от поверхности. § 4. Треугольник Шварца 4. Треугольники, образованные световыми лучами. 5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение. § 5. Проблема Штейнера 2. Анализ возникающих альтернатив. 3. Дополнительная проблема. 4. Замечания и упражнения. 5. Обобщение: проблема уличной сети. § 6. Экстремумы и неравенства 1. Средние арифметическое и геометрическое двух положительных величин. 2. Обобщение на случай n переменных. 3. Метод наименьших квадратов. § 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле 3. Экстремальные проблемы элементарного содержания. 4. Трудности, возникающие в более сложных случаях. § 8. Изопериметрическая проблема § 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой § 10. Вариационное исчисление 2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике. 3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли. 4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы. § 11. Экспериментальные решения минимальных проблем. Опыты с мыльными пленками 2. Опыты с мыльными пленками. 3. Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато. 4. Экспериментальные решения других математических проблем. Глава VIII. Математический анализ § 1. Интеграл 2. Интеграл. 3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение. 4. Примеры интегрирования. Интегрирование x^r. 5. Правила «интегрального исчисления». § 2. Производная 2. Производная как предел. 3. Примеры. 4. Производные от тригонометрических функций. 5. Дифференцируемость и непрерывность. 6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение. 7. Геометрический смысл второй производной. 8. Максимумы и минимумы. § 3. Техника дифференцирования § 4. Обозначения Лейбница и «бесконечно малые» § 5. Основная теорема анализа 2. Первые применения. Интегрирование функций x^r, cosx, sinx. Функция arctgx 3. Формула Лейбница для «пи» § 6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм 2. Показательная (экспоненциальная) функция. 3. Формулы дифференцирования функций е^х, а^х, x^s. 4. Явные выражения числа е^x и функций lnx в виде пределов. 5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов. § 7. Дифференциальные уравнения 2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты. 3. Другие примеры. Простейшие колебания. 4. Закон движения Ньютона. Дополнение к главе VIII § 1. Вопросы принципиального порядка 3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой. § 2. Порядки возрастания 2. Порядок возрастания ln(n!) § 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения 2. Формула Эйлера cos x + i sin x = exp(ix). 3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения. § 4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода Приложение. Дополнительные замечания, задачи и упражнения Аналитическая геометрия Геометрические построения Проективная и неевклидова геометрия Топология Функции, пределы, непрерывность Максимумы и минимумы Дифференциальное и интегральное исчисления Техника интегрирования Рекомендуемая литература |
