Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4. Экспериментальные решения других математических проблем.Благодаря действию поверхностного натяжения жидкая пленка только при том условии может находиться в состоянии устойчивого равновесия, если площадь образуемой поверхности минимальна. Это обстоятельство является неистощимым источником экспериментов серьезной математической ценности. Если некоторые части границы пленки могут свободно перемещаться по заданным поверхностям (например, плоскостям), то на этих частях границы пленка будет стоять перпендикулярно к заданной поверхности. Мы можем использовать последнее отмеченное обстоятельство для наглядного решения проблемы Штейнера и ее обобщений (см. § 5). Пусть две параллельно расположенные стеклянные поверхности (или гладкие плитки) соединены тремя или большим числом перпендикулярно стоящих стержней. Если погрузить всю такого рода систему в мыльный раствор, затем вынуть, то пленка образует между плоскими поверхностями ряд вертикальных полос, связывающих между собой стержни. Проекция этих полос на горизонтальные плоскости есть не что иное, как решение проблемы Штейнера, рассмотренной на стр. 405. Если две плоские поверхности не параллельны, или стержни к ним не перпендикулярны, или сами поверхности не являются плоскими, то кривые, по которым пленки пересекаются с поверхностями, не будучи прямыми линиями, смогут иллюстрировать решение новых вариационных проблем.
Рис. 249. Демонстрация кратчайшей системы путей между 4 точками
Рис. 250. Кратчайшая система путей между 5 точками Появление кривых, по которым смыкаются под углами в 120° различные минимальные поверхности, может рассматриваться как пространственное обобщение явлений, связанных с проблемой Штейнера. Это становится вполне ясным, если мы соединим, например, две точки А, В тремя различными пространственными кривыми и затем погрузим полученную (жестко укрепленную) систему в мыльный раствор. Предположим для определенности, что одна из трех кривых есть прямолинейный отрезок, две другие — взаимно конгруэнтные круговые дуги. То, что получается, изображено на рис. 251. Если плоскости Дуг образуют между собой угол меньше 120°, мы получим решение минимальной проблемы в виде трех поверхностей, смыкающихся под Углами в 120°, но если станем поворачивать плоскости дуг, увеличивая заключенный между ними угол, то это решение в результате непрерывного изменения перейдет, наконец, в два плоских круговых сегмента.
Рис. 251. Три пересекающиеся под углом в 120° поверхности, натянутые на три проволоки, соединяющие две точки
Рис. 252. Три ломаные линии, соединяющие две точки
Рис. 253. Доказательство изопериметрического свойства круга Допустим теперь, что точки Все явления, связанные со смыканием трех минимальных поверхностей по одной кривой, в основном одной и той же природы: они представляют собой обобщение плоской проблемы о соединении системы Наконец, добавим несколько слов о мыльных пузырях. Сферический мыльный пузырь показывает, что среди всех замкнутых поверхностей, охватывающих один и тот же объем (определенный запасом заключенного в нем воздуха), именно сфера имеет наименьшую поверхность. Если мы рассмотрим пузыри данного объема, стремящиеся сократить свою поверхность, но подчиненные некоторым дополнительным условиям, то убедимся, что получаться будут уже не обязательно сферы, а, вообще говоря, поверхности постоянной средней кривизны, частными примерами которых являются сферы и круговые цилиндры. Предположим, например, что пузырь заключен между двумя параллельными стеклами или плитками, предварительно смоченными мыльным раствором. Прикоснувшись к одной из плоскостей, пузырь внезапно принимает форму полусферы, если же происходит соприкосновение также и с другой плоскостью, он сразу превращается в круговой цилиндр, тем самым чрезвычайно наглядно демонстрируя изопериметрическое свойство круга. Все дело, конечно, в том, что мыльная пленка располагается перпендикулярно к ограничивающим поверхностям. Помещая мыльные пузыри между двумя плоскостями, которые соединены между собой стержнями, мы имеем возможность проиллюстрировать проблемы, разобранные на стр. 411.
Рис. 254-255. Изопериметрические фигуры с граничными условиями Можно еще рассмотреть, как изменяется решение изопериметрической проблемы при увеличении или уменьшении объема воздуха внутри пузыря. При этом следует воспользоваться тоненькой трубочкой или соломинкой. Однако, высасывая воздух, мы не получим тех
Рис. 256-257. Демонстрация изопериметрических свойств фигур с помощью мыльных пленок фигур (см. стр. 429), которые состоят из касающихся друг друга круговых дуг. При уменьшении объема воздуха внутри пузыря углы в треугольнике из круговых дуг, однако, не станут (теоретически) меньшими, чем 120°: мы получим такие фигуры, какие изображены на рис. 254 и 255, причем при неограниченном уменьшении площади, заключенной внутри, в пределе получатся те же три сегмента, с которыми мы встретились и раньше (рис. 235). С математической точки зрения объяснение отмеченному различию заключается в том, что отрезок, связывающий пузырь с каким-нибудь стержнем, начиная с момента отделения пузыря от этого стержня, не должен считаться дважды. Соответствующие опыты иллюстрируются рис. 256 и 257. Упражнение. Разобрать математическую проблему, отвечающую настоящим условиям: найти треугольник, составленный из круговых дуг и имеющий данную площадь, по условию, чтобы сумма его периметра и трех отрезков, соединяющих вершины с тремя данными точками, была минимальной. Помещая мыльный пузырь внутрь кубического проволочного каркаса, в случае, если объем пузыря окажется больше, чем объем куба, мы получим поверхности постоянной средней кривизны с квадратными основаниями. Высасывая воздух из пузыря через соломинку, будем иметь целую цепь красивых структур, приводящих в конце концов к такой, какая изображена на рис. 258. Явления устойчивости и переход от одного состояния равновесия к другому порождают эксперименты, которые в математическом отношении нельзя не назвать весьма поучительными. Таким образом, возникает наглядная иллюстрация к теории стационарных значений; непрерывная цепь переходов от одного состояния равновесия к другому может быть выбрана таким образом, что в ее состав войдет состояние неустойчивого равновесия, все же являющееся «стационарным состоянием».
Рис. 258. Пленки на кубическом каркасе Рассмотрим в качестве примера кубическую структуру на рис. 240. Мы видим здесь нарушение симметрии: в центре куба имеется вертикальная площадка, смыкающаяся с двенадцатью поверхностями, идущими от ребер куба. Но тогда, как нетрудно понять, должно существовать еще по меньшей мере два положения равновесия: одно с вертикальной (иначе расположенной) и другое с горизонтальной площадкой в центре. Чтобы на самом деле реализовать переход от одного положения равновесия к другому, нужно дуть через соломинку на ребра центральной площадки: таким образом удается эту центральную площадку превратить в точку — центр куба, но полученное таким образом состояние равновесия не будет устойчивым и немедленно же перейдет в иное устойчивое состояние, причем центральная площадка снова возникает, хотя и повернувшись на 90°. Подобный же эксперимент можно произвести и с мыльной пленкой, демонстрирующей решение проблемы Штейнера для случая четырех точек, помещенных в вершинах квадрата (рис. 219, 220). Если бы мы пожелали получить решение только что рассмотренных проблем как предельный случай цепи изопериметрических проблем, например, если бы мы хотели получить рис. 240 из рис. 258, нужно было бы понемногу высасывать воздух из центрального пузыря. Структура, изображенная на рис. 258, строго симметрична, и в пределе, когда объем центрального «кубика» обращается в нуль, получается также строго симметричная структура из 12 плоских треугольников с общей вершиной в центре. Этого в самом деле можно добиться. Но возникающее предельное положение равновесия не является устойчивым: внезапно оно сменяется одним из трех положений, изображенных на рис. 240. Все явления можно наблюдать вполне отчетливо, если раствор сделать несколько более вязким, чем было указано в нашем рецепте. Перед нами возникает яркая картина, показывающая, что даже в проблемах из области физики решение не всегда находится в непрерывной зависимости от начальных данных: в самом деле, в предельном случае, когда объем воздуха, заключенного в «кубическом» пузыре, обращается в нуль, решение, изображенное на рис. 240, не является предельным для цепи решений, изображенных на рис. 258, возникающих для различных объемов
|
1 |
Оглавление
|