Главная > Что такое математика?
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. Экспериментальные решения других математических проблем.

Благодаря действию поверхностного натяжения жидкая пленка только при том условии может находиться в состоянии устойчивого равновесия, если площадь образуемой поверхности минимальна. Это обстоятельство является неистощимым источником экспериментов серьезной математической ценности. Если некоторые части границы пленки могут свободно перемещаться по заданным поверхностям (например, плоскостям), то на этих частях границы пленка будет стоять перпендикулярно к заданной поверхности.

Мы можем использовать последнее отмеченное обстоятельство для наглядного решения проблемы Штейнера и ее обобщений (см. § 5). Пусть две параллельно расположенные стеклянные поверхности (или гладкие плитки) соединены тремя или большим числом перпендикулярно стоящих стержней. Если погрузить всю такого рода систему в мыльный раствор, затем вынуть, то пленка образует между плоскими поверхностями ряд вертикальных полос, связывающих между собой стержни. Проекция этих полос на горизонтальные плоскости есть не что иное, как решение проблемы Штейнера, рассмотренной на стр. 405.

Если две плоские поверхности не параллельны, или стержни к ним не перпендикулярны, или сами поверхности не являются плоскими, то кривые, по которым пленки пересекаются с поверхностями, не будучи прямыми линиями, смогут иллюстрировать решение новых вариационных проблем.

Рис. 249. Демонстрация кратчайшей системы путей между 4 точками

Рис. 250. Кратчайшая система путей между 5 точками

Появление кривых, по которым смыкаются под углами в 120° различные минимальные поверхности, может рассматриваться как пространственное обобщение явлений, связанных с проблемой Штейнера. Это становится вполне ясным, если мы соединим, например, две точки А, В тремя различными пространственными кривыми и затем погрузим полученную (жестко укрепленную) систему в мыльный раствор. Предположим для определенности, что одна из трех кривых есть прямолинейный отрезок, две другие — взаимно конгруэнтные круговые дуги. То, что получается, изображено на рис. 251. Если плоскости Дуг образуют между собой угол меньше 120°, мы получим решение минимальной проблемы в виде трех поверхностей, смыкающихся под Углами в 120°, но если станем поворачивать плоскости дуг, увеличивая заключенный между ними угол, то это решение в результате непрерывного изменения перейдет, наконец, в два плоских круговых сегмента.

Рис. 251. Три пересекающиеся под углом в 120° поверхности, натянутые на три проволоки, соединяющие две точки

Рис. 252. Три ломаные линии, соединяющие две точки

Рис. 253. Доказательство изопериметрического свойства круга

Допустим теперь, что точки соединены более сложными кривыми. В качестве примера возьмем три ломаные, состоящие каждая из трех ребер одного и того же куба и соединяющие диагонально противоположные вершины: тогда получатся три конгруэнтные минимальные поверхности, пересекающиеся по диагонали куба. (Мы получили бы ту же систему поверхностей из системы, изображенной на рис. 240, уничтожая пленки, прилежащие к трем надлежащим образом выбранным ребрам.) Если станем деформировать ломаные линии, соединяющие то линия взаимного смыкания поверхностей искривится, но углы неизменно останутся те же — в 120° (рис. 252).

Все явления, связанные со смыканием трех минимальных поверхностей по одной кривой, в основном одной и той же природы: они представляют собой обобщение плоской проблемы о соединении системы данных точек кратчайшей системой линий.

Наконец, добавим несколько слов о мыльных пузырях. Сферический мыльный пузырь показывает, что среди всех замкнутых поверхностей, охватывающих один и тот же объем (определенный запасом заключенного в нем воздуха), именно сфера имеет наименьшую поверхность. Если мы рассмотрим пузыри данного объема, стремящиеся сократить свою поверхность, но подчиненные некоторым дополнительным условиям, то убедимся, что получаться будут уже не обязательно сферы, а, вообще говоря, поверхности постоянной средней кривизны, частными примерами которых являются сферы и круговые цилиндры.

Предположим, например, что пузырь заключен между двумя параллельными стеклами или плитками, предварительно смоченными мыльным раствором. Прикоснувшись к одной из плоскостей, пузырь внезапно принимает форму полусферы, если же происходит соприкосновение также и с другой плоскостью, он сразу превращается в круговой цилиндр, тем самым чрезвычайно наглядно демонстрируя изопериметрическое свойство круга. Все дело, конечно, в том, что мыльная пленка располагается перпендикулярно к ограничивающим поверхностям. Помещая мыльные пузыри между двумя плоскостями, которые соединены между собой стержнями, мы имеем возможность проиллюстрировать проблемы, разобранные на стр. 411.

Рис. 254-255. Изопериметрические фигуры с граничными условиями

Можно еще рассмотреть, как изменяется решение изопериметрической проблемы при увеличении или уменьшении объема воздуха внутри пузыря. При этом следует воспользоваться тоненькой трубочкой или соломинкой. Однако, высасывая воздух, мы не получим тех

Рис. 256-257. Демонстрация изопериметрических свойств фигур с помощью мыльных пленок

фигур (см. стр. 429), которые состоят из касающихся друг друга круговых дуг. При уменьшении объема воздуха внутри пузыря углы в треугольнике из круговых дуг, однако, не станут (теоретически) меньшими, чем 120°: мы получим такие фигуры, какие изображены на рис. 254 и 255, причем при неограниченном уменьшении площади, заключенной внутри, в пределе получатся те же три сегмента, с которыми мы встретились и раньше (рис. 235). С математической точки зрения объяснение отмеченному различию заключается в том, что отрезок, связывающий пузырь с каким-нибудь стержнем, начиная с момента отделения пузыря от этого стержня, не должен считаться дважды. Соответствующие опыты иллюстрируются рис. 256 и 257.

Упражнение. Разобрать математическую проблему, отвечающую настоящим условиям: найти треугольник, составленный из круговых дуг и имеющий данную площадь, по условию, чтобы сумма его периметра и трех отрезков, соединяющих вершины с тремя данными точками, была минимальной.

Помещая мыльный пузырь внутрь кубического проволочного каркаса, в случае, если объем пузыря окажется больше, чем объем куба, мы получим поверхности постоянной средней кривизны с квадратными основаниями. Высасывая воздух из пузыря через соломинку, будем иметь целую цепь красивых структур, приводящих в конце концов к такой, какая изображена на рис. 258. Явления устойчивости и переход от одного состояния равновесия к другому порождают эксперименты, которые в математическом отношении нельзя не назвать весьма поучительными. Таким образом, возникает наглядная иллюстрация к теории стационарных значений; непрерывная цепь переходов от одного состояния равновесия к другому может быть выбрана таким образом, что в ее состав войдет состояние неустойчивого равновесия, все же являющееся «стационарным состоянием».

Рис. 258. Пленки на кубическом каркасе

Рассмотрим в качестве примера кубическую структуру на рис. 240. Мы видим здесь нарушение симметрии: в центре куба имеется вертикальная площадка, смыкающаяся с двенадцатью поверхностями, идущими от ребер куба. Но тогда, как нетрудно понять, должно существовать еще по меньшей мере два положения равновесия: одно с вертикальной (иначе расположенной) и другое с горизонтальной площадкой в центре. Чтобы на самом деле реализовать переход от одного положения равновесия к другому, нужно дуть через соломинку на ребра центральной площадки: таким образом удается эту центральную площадку превратить в точку — центр куба, но полученное таким образом состояние равновесия не будет устойчивым и немедленно же перейдет в иное устойчивое состояние, причем центральная площадка снова возникает, хотя и повернувшись на 90°.

Подобный же эксперимент можно произвести и с мыльной пленкой, демонстрирующей решение проблемы Штейнера для случая четырех точек, помещенных в вершинах квадрата (рис. 219, 220).

Если бы мы пожелали получить решение только что рассмотренных проблем как предельный случай цепи изопериметрических проблем, например, если бы мы хотели получить рис. 240 из рис. 258, нужно было бы понемногу высасывать воздух из центрального пузыря. Структура,

изображенная на рис. 258, строго симметрична, и в пределе, когда объем центрального «кубика» обращается в нуль, получается также строго симметричная структура из 12 плоских треугольников с общей вершиной в центре. Этого в самом деле можно добиться. Но возникающее предельное положение равновесия не является устойчивым: внезапно оно сменяется одним из трех положений, изображенных на рис. 240. Все явления можно наблюдать вполне отчетливо, если раствор сделать несколько более вязким, чем было указано в нашем рецепте. Перед нами возникает яркая картина, показывающая, что даже в проблемах из области физики решение не всегда находится в непрерывной зависимости от начальных данных: в самом деле, в предельном случае, когда объем воздуха, заключенного в «кубическом» пузыре, обращается в нуль, решение, изображенное на рис. 240, не является предельным для цепи решений, изображенных на рис. 258, возникающих для различных объемов когда стремится к нулю.

1
Оглавление
email@scask.ru