§ 3. Техника дифференцирования

До сих пор наши усилия были направлены на то, чтобы продифференцировать целый ряд отдельных функций, причем мы предварительно придавали надлежащий вид разностному отношению. Важным шагом вперед в работах Ньютона, Лейбница и их последователей была замена этих разрозненных индивидуальных приемов мощными общими методами. С помощью этих методов можно почти автоматически дифференцировать любую функцию из числа тех, с которыми обыкновенно приходится иметь дело в математике; нужно только запастись небольшим числом простых правил и уметь их применять. Совокупность этих приемов приобрела характер вычислительного «алгоритма».

Мы не можем вникать в подробности этой техники. Укажем только немногие наиболее простые правила.

a) Дифференцирование суммы. Если а и постоянные, и функция задана формулой

то, как это легко докажет сам читатель, справедливо следующее:

Аналогичное правило имеет место при любом числе слагаемых.

b) Дифференцирование произведения. Производная произведения

выражается формулой

Это легко доказывается следующим приемом: прибавим и отнимем от одно и то же выражение, а именно

Объединяя первые два и последние два члена, мы получим

Заставим теперь стремиться к нулю; поскольку при этом стремится к наше утверждение доказывается немедленно.

Упражнение. Пользуясь этим правилом, доказать, что производная функции есть . (Указание: примите во внимание, что и примените математическую индукцию.)

С помощью правил а) и можно дифференцировать любой полином

его производная равна выражению

В качество одного из применений можно доказать биномиальную теорему (см. стр. 44). Согласно этой теореме степень бинома разлагается в полином следующего вида:

где коэффициент а дается формулой

Мы уже видели (упражнение на стр. 476), что дифференцирование левой части формулы (1) дает На основании предыдущего пункта

Если теперь в этой формуле положить то получим что соответствует формуле (2) при Снова продифференцируем формулу (3) и тогда будем иметь:

Подстановка в эту формулу нуля вместо дает в соответствии с формулой (2) при

Упражнение. Доказать формулу (2) при и при любом к (с помощью математической индукции).

с) Дифференцирование частного. Если

то

Доказательство предоставляется в виде упражнения читателю. Очевидно, нужно предполагать, что

Упражнение. С помощью последнего правила вывести производные от и зная производные от Доказать, что производными от являются соответственно

Мы умеем теперь дифференцировать любую функцию, являющуюся отношением двух многочленов. Например,

имеет производную

Упражнение. Продифференцировать функцию

предполагая целым положительным. Результат:

d) Дифференцирование обратных функций. Если функции

взаимно обратные (например, то производная одной из них является обратной величиной по отношению к производной другой. Именно,

Это утверждение легко доказать, если обратиться ко взаимно обратным разностным отношениям и это видно ясно также из геометрической интерпретации обратных функций, приведенной на стр. 326, если отнести наклон касательной к оси у, а не к оси х.

В качестве примера продифференцируем функцию

обратную по отношению к функции (см. также более полное рассуждение, относящееся к случаю на стр. 476). Поскольку функция имеет своей производной выражение то мы имеем

откуда, делая подстановки получим

В качестве следующего примера продифференцируем обратную тригонометрическую функцию (см. стр. 326)

Для того чтобы обеспечить однозначное определение функции у, предположим, что переменная у, обозначающая меру угла в радианах, ограничена промежутком

Мы знаем (см. стр. 478), что и как

то можно заключить, что

Таким же точно путем читатель сможет вывести следующие формулы:

Рис.

Рис. 273.

Наконец, мы приходим к следующему важному правилу:

е) Дифференцирование сложных функций. Сложные функции составляются из двух (или нескольких) простых (см. стр. 327). Например, функция составлена из функций функция составлена из функций функция из функций функция из функций

Если из двух данных функций

вторую подставить в первую, то получается сложная функция

Докажем справедливость формулы

С этой целью составим разностное отношение

где при стремлении левая часть стремится к а два множителя в правой части стремятся соответственно к чем и доказывается формула (4).

В этом доказательстве было необходимо условие В самом деле, мы делили на у; поэтому нужно было считать исключенными те значения при которых Однако формула (4) остается в силе даже в том случае, если равно нулю в промежутке, окружающем точку х. При этом предположении у остается

постоянным, так что с другой стороны, и остается постоянным относительно х (поскольку у не меняется при изменении х) и, следовательно, итак, формула (4) справедлива также и в рассматриваемом случае.

Читатель должен проверить следующие примеры:

Упражнение. Сопоставляя результаты стр. 484 и стр. 487, доказать, что функция

имеет производную

Теперь можно уже отметить, что все наши формулы, касающиеся степеней х, могут быть объединены в одну общую:

При любом положительном или отрицательном рациональном функция

имеет производную

Упражнения.

(см. скан)

(см. скан)