§ 2. Порядки возрастания

1. Показательная функция и степени переменного х.

В математике мы постоянно встречаемся с последовательностями чисел которые имеют бесконечный предел. Часто бывает нужно сравнить такую последовательность с другой последовательностью, например, чисел тоже стремящихся к бесконечности, но, может быть, «быстрее», чем последовательность чисел Уточним это понятие: мы скажем, что стремится к бесконечности быстрее чем или имеет более высокий порядок возрастания, чем если отношение (в котором как числитель, так и знаменатель стремятся к бесконечности) стремится к нулю при возрастании Например, последовательность стремится к бесконечности быстрее, чем последовательность а эта последовательность в свою очередь быстрее, чем последовательность так как

Ясно, что стремится к бесконечности быстрее, чем при так как

Если отношение стремится к некоторой конечной постоянной с, отличной от нуля, то мы говорим, что обе последовательности

стремятся к бесконечности с одинаковой скоростью или что они имеют одинаковый порядок возрастания. Так, например, имеют один и тот же порядок возрастания, потому что

Могла бы возникнуть мысль, что возрастание любой последовательности с бесконечным пределом может быть «измерено» с помощью степеней так же, как любой отрезок может быть измерен с помощью линейки с делениями. Стоило бы только для этого найти подходящую степень с тем же порядком возрастания, что и т. е. такую, что отношение стремится к некоторой конечной, отличной от нуля постоянной. Но совершенно замечательным является то обстоятельство, что осуществить это отнюдь не всегда возможно — хотя бы потому, что показательная функция при (например, стремится к бесконечности быстрее, чем какая бы то ни было степень как бы велик ни был показатель с другой стороны, функция стремится к бесконечности медленнее, чем какая бы то ни было степень как бы мал ни был положительный показатель Другими словами, мы имеем соотношения

и

при Заметим, что показатель степени не обязательно целое число; он может быть любым фиксированным положительным числом.

Для того чтобы доказать соотношение (1), мы упростим наше утверждение тем, что извлечем из соотношения (1) корень степени ясно, что вместе с корнем стремится к нулю и подкоренное выражение. Итак, нам остается только доказать, что

при возрастании Пусть так как, по предположению, а больше единицы, то и также больше 1. Можно написать

где положительно. Теперь, в силу неравенства (6) на стр. 42,

так что

и, следовательно,

Так как выражение справа стремится к нулю при доказательство закончено.

Нужно заметить, что соотношение

остается в силе, когда х стремится к бесконечности любым способом, пробегая последовательность которая может и не совпадать с последовательностью целых положительных чисел. В самом деле, при мы имеем

Это замечание можно использовать для доказательства соотношения (2). Если положить так что то дробь в левой части (2) примет вид

и мы приходим к выражению, имеющемуся в соотношении (3) при

Упражнения.

(см. скан)