§ 4. Треугольник Шварца

1. Доказательство, предложенное Шварцем.

Герман Амандус Шварц (1843-1921), выдающийся математик, профессор Берлинского университета, сделал многое для развития современной теории функций и анализа. Он не считал ниже своего достоинства писать на темы элементарного содержания, и одна из его работ посвящена следующей задаче: в данный остроугольный треугольник вписать другой треугольник с минимальным периметром. (Говоря, что некоторый треугольник вписан в данный, мы подразумеваем, что на каждой из сторон данного треугольника имеется вершина рассматриваемого треугольника.) Мы убедимся в дальнейшем, что существует только один искомый треугольник: именно, его вершинами являются основания высот данного треугольника. Такой треугольник условимся называть высотным треугольником.

Шварц доказал минимальное свойство высотного треугольника, применяя метод отражения и основываясь на следующей теореме элементарной геометрии: в каждой из вершин (рис. 197) две

стороны высотного треугольника делают одинаковые углы со стороной данного треугольника, именно, каждый из этих углов равен углу при противоположной вершине данного треугольника. Например, углы и равны каждый углу С и т. д.

Рис. 197. Высотный треугольник в треугольнике

Докажем прежде всего эту теорему. Так как углы и прямые, то около четырехугольника можно описать окружность. Следовательно, так как названные углы опираются на одну и ту же дугу описанной окружности. Но угол дополнительный к углу С, так как треугольник прямоугольный, а угол дополнительный к углу Поэтому Таким же образом, рассуждая по поводу четырехугольника заключаем, что и т.д.

Этот результат приводит к следствию, относящемуся к высотному треугольнику: так как, например, то при отражении относительно стороны данного треугольника сторона направляется по стороне и обратно. Аналогично для других сторон.

Перейдем теперь к доказательству минимального свойства высотного треугольника. В треугольнике рассмотрим, наряду с высотным треугольником, какой-нибудь другой вписанный треугольник, скажем, Отразим всю фигуру сначала относительно стороны треугольника затем вновь получившуюся фигуру отразим относительно стороны потом — относительно потом — относительно и, наконец, относительно Таким образом мы получим всего шесть конгруэнтных треугольников, причем в каждом из них будет заключен высотный треугольник и еще другой вписанный треугольник (рис. 198). Сторона последнего треугольника параллельна стороне первого треугольника. В самом деле, при первом отражении сторона поворачивается по часовой стрелке на угол затем опять по часовой стрелке на угол при третьем отражении — остается неизменной; при четвертом — поворачивается на угол против часовой стрелки и при пятом — на угол опять против часовой стрелки. Итого, общий угол поворота равен нулю.

Благодаря указанному выше свойству высотного треугольника прямолинейный отрезок равен удвоенному периметру треугольника

Рис. 198. Доказательство минимального свойства высотного треугольника, данное Шварцем

действительно, составляется из шести отрезков, по очереди равных первой, второй и третьей стороне причем каждая из сторон входит дважды. Таким же образом ломаная линия, соединяющая имеет длину, равную удвоенному периметру треугольника Эта ломаная не короче, чем прямолинейный отрезок Что же касается прямолинейного отрезка то он равен так как отрезок параллелен Значит, ломаная линия не короче, чем прямая т. е. периметр высотного треугольника не больше, чем периметр любого другого треугольника, вписанного в данный. Это и нужно было доказать. Итак, установлено, что минимум существует и что он реализуется в случае высотного треугольника. Что нет иного вписанного треугольника с тем же периметром — это, однако, не доказано, и это мы докажем дальше.

2. Другое доказательство.

Следующее решение задачи Шварца является, вероятно, самым простым. Оно основывается на теореме, ранее доказанной в этой главе: если точки лежат по одну сторону прямой (но не на ней самой), то сумма расстояний где точка на обращается в минимум в том случае, если и делают одинаковые углы с Пусть треугольник вписанный в данный треугольник решает поставленную минимальную задачу. Тогда точка на стороне должна быть такой, чтобы сумма была наименьшей, следовательно, углы и должны быть равны; и точно так же Таким образом, Для искомого треугольника с минимальным периметром — если только таковой существует — должно быть выполнено то же самое свойство

Рис. 199-200. Другое доказательство минимального свойства высотного треугольника

равенства углов, каким обладает высотный треугольник. Остается показать, что при таком условии наш треугольник не может отличаться от высотного. Кроме того, так как в теореме, на которую мы ссылались, предполагается, что не лежат на то доказательство не годится для случая, когда одна из точек совпадает с какой-нибудь вершиной данного треугольника (при этом периметр треугольника выродился бы в удвоенную соответствующую высоту); чтобы доказательство было исчерпывающим, нужно еще установить, что периметр высотного треугольника меньше любой из удвоенных высот данного треугольника.

Обращаясь сначала к первому пункту, заметим, что если вписанный треугольник обладает указанным выше свойством равенства углов, то рассматриваемые углы при вершинах соответственно равны углам В самом деле, допустим, например, что Тогда, применяя теорему о сумме углов треугольника к треугольникам и мы видим, что углы при должны равняться углы при Р должны равняться Но тогда сумма углов треугольника равна ; с другой стороны, она же равна 180°. Поэтому Мы уже видели, что высотный треугольник обладает отмеченным свойством. Всякий иной вписанный треугольник, обладающий тем же свойством, имел бы стороны, соответственно параллельные сторонам высотного треугольника; другими словами, он был бы ему подобен и подобно расположен. Читатель докажет самостоятельно, что, кроме самого высотного треугольника, другого такого треугольника не существует (рис. 200).

Покажем, наконец, по-прежнему ограничиваясь случаем остроугольного треугольника, что периметр высотного треугольника меньше, чем любая удвоенная высота данного треугольника. Проведем прямые и и затем из вершины В (рис. 201) опустим перпендикуляры

на прямые и пусть основания этих перпендикуляров. Так как отрезки и являются проекциями высоты на прямые и то Но где через обозначен периметр высотного треугольника. Действительно, треугольники и равны, так как а углы при вершинах прямые. Значит, и поэтому

Точно так же мы убеждаемся, что и, следовательно, Отсюда вытекает: Но раньше было показано, что Итак, меньше, чем удвоенная высота Это же рассуждение может быть применено и к каждой из двух других высот. Таким образом, минимальное свойство высотного треугольника доказано полностью.

Рис. 201. К доказательству минимального свойства высотного треугольника

Между прочим, приведенное построение позволяет непосредственно вычислить Мы знаем, что углы и равны углу В, так что . Отсюда следует, с помощью элементарных тригонометрических соображений, что Таким же образом можно показать, что . Из тригонометрии известно, что и т. д., откуда следует: . И наконец, вводя радиус описанного круга и принимая во внимание, что мы получим симметрическую формулу

3. Тупоугольные треугольники.

В обоих предшествующих доказательствах предполагалось, что все три угла острые. Если бы, скажем, угол С был тупой (рис. 202), то точки лежали бы вне треугольника. Поэтому, строго говоря, высотный треугольник Уже нельзя было бы считать вписанным в данный, если только мы не Условимся заранее называть вписанным такой треугольник, вершины которого лежат на сторонах данного треугольника или на их продолжениях. Как бы то ни было, высотный треугольник в расширенном смысле

Рис. 202. Высотный треугольник в тупоугольном треугольнике

не обладает минимальным периметром, так как и, значит, Так как рассуждение в первой части последнего доказательства показывает, что минимальный периметр — если только он не дается высотным треугольником — должен быть равен одной из удвоенных высот, то отсюда легко заключить, что в случае тупоугольного треугольника «вписанный треугольник» с наименьшим периметром есть не что иное, как высота, опущенная из вершины тупого угла, учитываемая в обоих направлениях; хотя треугольника в собственном смысле здесь и нет, однако можно все же указать настоящие вписанные треугольники, периметры которых как угодно мало отличаются от удвоенной высоты. В промежуточном случае, когда данный треугольник прямоугольный, оба решения (высотный треугольник и удвоенная высота, опущенная из прямого угла) совпадают.

Не лишен интереса вопрос о том, не обладают ли каким-нибудь экстремальным свойством высотные треугольники данных тупоугольных треугольников. Не имея возможности подробно рассматривать этот вопрос, отметим лишь, что такие высотные треугольники не обращают в минимум сумму сторон но зато обеспечивают стационарное значение типа минимакса для выражения вида где та сторона вписанного (в расширенном смысле) треугольника, которая соответствует тупому углу.