3. Дополнительная проблема.

Формальные математические методы нередко ведут дальше поставленных заранее целей. Так, если угол при вершине С больше 120°, то вместо точки Р (которая совпадает на этот раз с точкой С) процедура геометрического построения дает другую точку Р — ту, из которой наибольшая сторона треугольника видна под углом в 120°, а две другие стороны — под углом в 60°. Конечно, точка Р не дает решения рассматриваемой проблемы,

Рис. 213. Дополнительная проблема

но можно догадываться, что она имеет какое-то к ней отношение. Оказывается, в самом деле, что точка Р решает следующую проблему: минимизировать выражение . Доказательство, вполне аналогичное изложенному выше для случая выражения и основанное на прямых результатах (§ 1, пункт 5), предоставляется в качестве упражнения читателю. Соединяя вместе полученные выводы, мы приходим к общей теореме.

Если все углы треугольника меньше 120°, то сумма а с расстояний с некоторой точки от точек А, В, С (соответственно) обращается в минимум в точке Р, из которой каждая из сторон видна под углом в 120°, а выражение а с обращается в минимум в вершине если же один из углов, скажем С, больше 120°, то с минимизируется в точке с — в точке Р, из которой две меньшие стороны треугольника видны под углом в 60°, а большая — под углом в 120°.

Таким образом, из двух минимальных проблем всегда одна решается построением окружностей, решение другой дается одной из вершин. В случае, когда оба решения обеих проблем совпадают, так как точка, получаемая при геометрическом построении, оказывается вершиной С.