2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация).

Необходимо очень тщательно делать различие между целым числом и тем символом (например, 5, V и т.п.), которым пользуются для его письменного воспроизведения. В нашей десятичной системе нуль и девять целых натуральных чисел обозначаются цифрами 0, 1, 2, 3, ... , 9. Числа большей величины, как, скажем, «триста семьдесят два», представляются в виде

и в десятичной системе записываются символом 372. Существенно в данном случае то, что смысл каждой из цифр 3, 7, 2 зависит от ее положения — от того, стоит ли она на месте единиц, десятков или сотен. Используя «поместное значение» цифр (позиционный принцип), мы имеем возможность изобразить любое натуральное число с помощью всего лишь десяти цифр в их различных комбинациях. Общее правило такого изображения даетея схемой, которая иллюстрируется примером

где а, b, с, d представляют собой целые числа в пределах от нуля до девяти. Число в этом случае сокращенно обозначается символом

Заметим, между прочим, что коэффициенты а являются не чем иным, как остатками при последовательном делении числа на 10. Так, например,

С помощью написанного выше выражения для числа можно изображать только те числа, которые меньше десяти тысяч, так как числа, большие чем десять тысяч, требуют пяти или большего числа цифр.

Если есть число, заключенное между десятью тысячами и ста тысячами, то его можно представить в виде

и тогда записать символически как Подобное же утверждение справедливо относительно чисел, заключенных между ста тысячами и одним миллионом, и т.д. Чрезвычайно важно располагать способом, позволяющим высказать результат, к которому мы приходим, во всей его общности посредством одной-единственной формулы. Мы можем добиться этой цели, если обозначим различные коэффициенты одной и той же буквой а с различными значками (индексами) и вместе с тем то обстоятельство, что степени числа 10 могут быть сколь угодно большими, выразим тем, что высшую степень числа 10 обозначим не или , как в предыдущих примерах, а станем писать понимая под совершенно произвольное натуральное число. В таком случае любое целое число в десятичной системе может быть представлено в виде

и записано посредством символа

Как и в частном, рассмотренном выше, примере, мы обнаруживаем, что являются остатками при последовательном делении на 10.

В десятичной системе число «десять» играет особую роль как «основание» системы. Тот, кому приходится встречаться лишь с практическими вычислениями, может не отдавать себе отчета в том, что такое выделение числа десять не является существенным и что роль основания способно было бы играть любое целое число, большее единицы. Например, была бы вполне возможна семиричная система с основанием семь. В такой системе целое число представлялось бы в виде

где коэффициенты b обозначают числа в пределах от нуля до шести, и оно записывалось бы посредством символа

Так, число «сто девять» в семиричной системе обозначалось бы символом 214, потому что

В качестве упражнения читатель может вывести общее правило для перехода от основания 10 к любому основанию В: нужно выполнять последовательные деления на В, начиная с данного числа остатки и будут «цифрами» при записи числа в системе с основанием В. Например,

109 (в десятичной системе) = 214 (в семиричной системе).

Естественно, возникает вопрос: не был ли бы особенно желательным выбор какого-либо специального числа в качестве основания системы счисления? Мы увидим дальше, что слишком маленькое основание должно было бы вызвать кое-какие неудобства; с другой стороны, слишком большое основание потребовало бы заучивания многих цифр и знания расширенной таблицы умножения. Высказывались соображения в пользу системы с основанием 12 («двенадцатеричной»): указывалось, что 12 делится без остатка на два, на три, на четыре и на шесть, и потому вычисления, связанные с делениями и дробями, при основании 12 были бы несколько проще. Чтобы написать произвольное число в двенадцатеричной системе, понадобились бы две лишние цифры — для обозначения чисел десять и одиннадцать. Пусть а обозначало бы десять и одиннадцать. Тогда в двенадцатеричной системе «двенадцать» пришлось бы написать в виде 10, «двадцать два» в виде 1а, «двадцать три» — в виде 1/3, «сто тридцать один» в виде

Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерийцам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. Более древние системы нумерации были построены исключительно на аддитивном принципе. Так, в римской нумерации CXVIII обозначает «сто+десять+пять-один+один+один». Египетская, еврейская и греческая системы были на том же уровне. Неудобством чисто аддитивной системы является то обстоятельство, что с увеличением изображаемых чисел требуется неограниченное число новых символов. Но главнейшим недостатком древних

систем (вроде римской) было то, что сама процедура счета была очень трудна: только специалисты-профессионалы могли решать даже самые простые задачи. Совсем иначе обстоит дело с распространенной в наше время индусской «позиционной» системой. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших ее у мусульман. Позиционная система обладает тем чрезвычайно выгодным свойством, что все числа, и малые и большие, могут быть записаны с помощью небольшого числа различных символов; в десятичной системе таковыми являются «арабские цифры» 0, 1, 2, ... , 9. Отнюдь не меньшее значение имеет и легкость счета в этой системе. Правила действий с числами, записываемыми по позиционному принципу, могут быть резюмированы в виде таблиц сложения и умножения и могут быть раз и навсегда выучены на память. Старинному методу счета, которым раньше владели лишь немногие избранные, теперь обучают разве лишь в начальных школах. В истории культуры найдется немного примеров того, чтобы научный прогресс оказал на практическую жизнь столь глубокое, столь облегчающее влияние.