2. Радианная мера углов.
Во всех практических применениях углы измеряются с помощью единиц, полученных от деления прямого угла на некоторое равное число частей. Если это число равно 90, то единицей измерения является обычный «градус». Деление на 100 частей подходило бы близко к нашей десятичной системе, но принцип измерения при этом оставался бы прежним. В теоретических же применениях выгоднее использовать по существу совершенно другой метод определения величины угла, а именно, так называемое радианное измерение. Многие важные формулы, содержащие тригонометрические функции углов, имеют в этой системе измерения более простой вид, чем при измерении углов в градусах.
Для того чтобы найти радианную меру некоторого угла, опишем из вершины этого угла, как из центра, круг радиуса 1.
Длину дуги 
той части нашей окружности, которая расположена между сторонами угла, назовем радианной мерой угла. Так как длина всей окружности единичного радиуса равна 
то «полный» угол в 360° имеет радианную меру 
Отсюда следует, что если через 
обозначить радианную меру угла, а через у его величину в градусах, то 
связаны соотношением 
или
Так, например, угол в 
имеет радианной мерой 
и т. д. С другой стороны, угол в 1 радиан (угол, радианной мерой которого является 
есть центральный угол, стягиваемый дугой, длина которой равна радиусу окружности; градусная мера такого угла содержит 
градусов. Для того чтобы от радианной меры угла 
перейти к его градусной мере у, нужно величину х умножить 
на число 
Радианная мера х некоторого угла равна также двойной площади А сектора, вырезаемого этим углом в упомянутом круге единичного радиуса; в самом деле, эта площадь относится ко всей площади круга так, как длина дуги относится к длине всей окружности: 
итак, 
Будем впредь под углом х подразумевать угол, радианная мера которого есть х. Угол, градусное измерение которого равно х, будем в дальнейшем, чтобы устранить всякую неясность, обозначать через 
Позднее станет совершенно очевидным, насколько выгодно пользоваться радианным измерением при разного рода аналитических операциях. Однако следует признать, что для практического употребления оно скорее неудобно. В самом деле, так как 
иррациональное число, то, сколько раз мы ни откладывали бы по кругу единичный угол, т. е. угол с радианной мерой, равной 1, мы никогда не вернемся в начальную точку. Обычное же измерение таково, что после откладывания 1 градуса 360 раз или 90 градусов 4 раза мы возвращаемся в исходную точку.
