5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой.

Начнем с того, что определим наибольшее и наименьшее расстояния данной точки Р от точек данной кривой С. Предположим для простоты, что С есть простая замкнутая кривая, имеющая всюду касательную (рис. 184). Понятие касательной к кривой, принимаемое здесь на интуитивной основе, будет подвергнуто анализу в следующей главе. Ответ очень прост: если

для некоторой точки на С расстояние достигает минимума или максимума, то прямая непременно перпендикулярна к касательной к С в точке короче говоря, прямая перпендикулярна к С. Доказательство вытекает из следующего обстоятельства: окружность с центром Р, проходящая через должна быть касательной к кривой С. Действительно, если есть точка наименьшего расстояния, то кривая С должна целиком лежать вне круга и поэтому в точке не может его пересекать; если же есть точка наибольшего расстояния, то С должна целиком лежать внутри круга и потому опять-таки в точке пересекать его не может. (Это следует из того очевидного факта, что расстояние некоторой точки от Р меньше, чем если эта точка — внутри круга, и больше, чем если она — вне его.) Итак, окружность и кривая касаются в точке и касательная у них в этой точке — одна и та же. Остается заметить, что отрезок как радиус окружности, перпендикулярен к касательной к окружности в точке и, следовательно, к самой кривой С в той же точке.

В теснейшей связи с предыдущим стоит следующее предложение, доказательство которого предоставляется читателю: диаметр замкнутой кривой С (т. е. наибольшая из ее хорд) в своих концах обязательно перпендикулярен к С. Аналогичное утверждение можно сформулировать и доказать для трехмерного случая.

Упражнение. Доказать, что наикратчайший и наидлиннейший отрезки, связывающие две взаимно непересекающиеся замкнутые кривые, перпендикулярны в своих концах к самым кривым.

Можно обобщить и задачи пункта 4, касающиеся суммы и разности расстояний. Рассмотрим вместо прямой линии простую замкнутую кривую С, обладающую касательной в каждой точке, и еще две точки не лежащие на С. Постараемся характеризовать те точки на кривой С, для которых сумма или разность принимают экстремальные значения (причем обозначают соответственно расстояния переменной точки на С от точек . Теперь уже нельзя применить то простое, основанное на отражении построение, с помощью которого мы решили обе задачи в случае, когда С была прямой линией. Но мы можем воспользоваться для поставленной здесь цели свойствами эллипса и гиперболы. Так как С на этот раз — замкнутая кривая, а не линия, уходящая в бесконечность, то и максимум и минимум на ней действительно реализуются: в самом деле, можно не подвергать сомнению то обстоятельство, что величины достигают и наибольшего и наименьшего значений на всяком конечном сегменте, кривой, следовательно, на замкнутой кривой (см. § 7).

Рис. 185. Максимум и минимум сумм

Останавливаясь на случае суммы предположим, что та точка на С, в которой имеет место максимум; пусть 2а есть значение в этой точке. Рассмотрим эллипс с фокусами геометрическое место точек, для которых Этот эллипс в точке должен касаться кривой С (доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения). Но мы видели, что отрезки и делают одинаковые углы с эллипсом в точке и так как эллипс в точке касается кривой С, то отрезки и делают в той же точке также одинаковые углы и с С. Совершенно аналогичное рассуждение приводит нас к тому же результату и в случае, если в точке сумма обращается в минимум.

Итак, мы пришли к теореме: дана замкнутая кривая С и две точки вне ее; тогда в каждой из точек в которых сумма принимает наибольшее или наименьшее значение на кривой С, отрезки и делают одинаковые углы с самой кривой (т. е. с ее касательной).

Если точка Р — внутри С, а точка вне С, то теорема остается справедливой для той точки, где принимает наибольшее значение, но она теряет смысл для точки, где принимает наименьшее значение, так как эллипс вырождается в отрезок прямой.

Рассуждая аналогичным образом (воспользовавшись вместо свойств эллипса свойством гиперболы) читатель сможет доказать следующую теорему: дана замкнутая кривая С и две точки одна внутри, другая вне тогда в каждой из тех точек на С, где разность принимает наибольшее или наименьшее значение, отрезки и делают одинаковые углы с самой кривой С. Но нужно вместе с тем отметить, что между случаем, когда С — прямая, и случаем, когда С — замкнутая кривая, есть

Рис. 186. Минимум разности

существенное различие: в первом случае приходится разыскивать максимум абсолютного значения разности, т. е. максимум тогда как во втором сама разность достигает и наибольшего и наименьшего значений.