2. Анализ возникающих альтернатив.

Чтобы установить, которая именно из двух возможностей имеет место, нам придется обратиться к построению точки Р. Для нахождения точки Р, из которой две стороны треугольника, например, и видны под углом в 120°, достаточно через точки провести такую окружность у которой меньшая из дуг содержала бы 120°, и через точки провести окружность обладающую таким же свойством; затем взять точку пересечения двух дуг, содержащих по 120°, если только эти дуги действительно пересекаются. Из точки Р, таким образом

Рис. 210-212. К анализу альтернатив в проблеме Штейнера

найденной, сторона непременно также будет видна под углом в 120°, так как сумма трех углов с вершиной Р равна 360°.

Из рис. 210 видно, что если все три угла треугольника меньше 120°, то две упомянутые дуги непременно пересекутся внутри треугольника.

С другой стороны, если один из углов треугольника например С, больше, чем 120°, то дуги, о которых идет речь, не пересекутся (рис. 211). В этом случае не существует точки Р, из которой каждая из трех сторон была бы видна под углом в окружности пересекаются в точке Р, из которой стороны и видны под углом в 60°, и только одна сторона противолежащая тупому углу, видна под углом в 120°.

Если один из углов треугольника больше 120°, то, как мы только что видели, нет такой точки Р, из которой каждая из сторон видна под углом в значит, искомая точка (в которой достигается минимум) должна совпадать с одной из вершин (так как это, на основании § 1, — единственная иная возможность), а именно, с вершиной тупого угла.

Если же у треугольника все углы меньше 120°, тогда, как мы видели, точку Р, из которой все стороны видны под углом в 120°, можно построить. Но, чтобы доказательство было закончено, нужно еще доказать, что для такой точки Р сумма а с меньше, чем для любой из вершин треугольника (так как еще покамест неизвестно, которая из двух альтернатив в рассматриваемом случае имеет место). Итак, докажем, например, что а с меньше, чем (рис. 212). С этой целью продолжим отрезок и спроектируем точку А на полученную прямую; пусть найденная проекция есть Так как, очевидно, то длина проекции равна Так как есть проекция на прямую то значит Но поэтому Совершенно таким же образом, проектируя А на продолжение отрезка мы убеждаемся, что с Складывая два последних неравенства, получаем: а Итак, искомая точка не может находиться в вершине А. Так как, аналогично, она не может находиться также в вершинах В или С, то, следовательно, найденная точка Р, из которой стороны видны под углом в 120°, решает задачу.