3. Проблема Аполлония.

Другая конструктивная проблема, решающаяся весьма просто, если подойти к ней с алгебраической точки зрения, это — знаменитая и уже упомянутая выше проблема Аполлония о проведении окружности, касательной к трем данным окружностям. В настоящем контексте нам не представляется необходимым искать ее особенно элегантное решение. Нам существенно лишь установить принципиально важное положение: проблема Аполлония решается с помощью циркуля и линейки. Мы вкратце приведем соответствующее доказательство; вопрос же о наиболее элегантном построении будет разобран ниже (см. стр. 200).

Пусть центры трех данных кругов имеют соответственно координаты а радиусы равны Обозначим координаты центра искомого круга через а радиус через Легко написать условие касания двух окружностей, если учесть, что расстояние между центрами должно равняться сумме или разности радиусов — смотря по тому, имеет ли место внешнее или внутреннее касание. Записывая в алгебраической форме три условия задачи, мы получаем три уравнения

которые после преобразований принимают вид

В каждом из уравнений нужно брать знак плюс или минус, в зависимости от того, каково касание — внешнее или внутреннее (рис. 35). Все уравнения (1), (2), (3) — второй степени относительно неизвестных но они обладают тем свойством, что члены второй степени входят в одинаковой комбинации, как видно из развернутой формы (1а). Таким образом, вычитая (2) из (1), мы получаем уравнение,

Рис. 35. Круги Аполлония

линейное относительно

где и т.д. Точно так же, вычитая (3) из (1), будем иметь другое линейное уравнение

Решая уравнения (4) и (5) относительно неизвестных которые, таким образом, выразятся линейно через и затем подставляя в (1), придем к уравнению, квадратному относительно каковое может быть решено с помощью рациональных операций и извлечения корня (см. стр. 161). Это уравнение, вообще говоря, будет иметь два решения, из которых лишь одно будет положительным. Определив найдем дальше значения подставляя в ранее полученные формулы. Окружность с центром у и радиусом и должна быть касательной к трем данным кругам. Во всей процедуре решения участвуют только рациональные операции и извлечение квадратного корня. Отсюда следует, что построение может быть выполнено с помощью только циркуля и линейки.

В общем случае будет иметься 8 решений проблемы Аполлония, соответственно возможным комбинациям в выборе знаков и — в уравнениях (1), (2) и (3); выбор же знаков надлежит делать в зависимости от того, какого рода касание — внешнее или внутреннее — желательно иметь по отношению к каждому из данных кругов. Вполне

возможно, что наша алгебраическая процедура не приведет к действительным значениям Таков будет, например, случай, когда все три данных круга — концентрические; тогда, очевидно, наша геометрическая задача не будет иметь ни одного решения. Следует также предвидеть возможность и случаев «вырождения»; например, если все три круга «вырождаются» в точки, лежащие на одной прямой, тогда аполлониев круг тоже «вырождается» в эту самую прямую. Мы не видим необходимости рассматривать вопрос во всех подробностях: это сделает сам читатель, если обладает некоторыми алгебраическими навыками.