2. Производная как предел.

Рассмотрение кривой только в одной ее точке не позволяет вычислить наклон кривой в этой точке. Необходимо прибегнуть к предельному процессу, сходному с процессом вычисления площади. Этот предельный процесс

Рис. 268. Производная как предел

является основой дифференциального исчисления. Рассмотрим на данной кривой другую точку близкую к Р, с координатами обозначим прямую, проходящую через точки буквой эта прямая по отношению к нашей кривой является секущей, которая мало отличается от касательной к точке Р, если только точка близка к точке Р. Обозначим угол между осью х и прямой буквой Заставим теперь стремиться к тогда точка будет двигаться по кривой к точке Р и секущая будет приближаться к некоторому предельному положению, которое и есть не что иное, как касательная к нашей кривой в точке х. Если буквой а обозначить угол между осью х и касательной то при будем иметь

Касательная есть предел секущей, а наклон касательной есть предел наклона секущей.

Хотя мы и не имеем явного выражения для наклона самой касательной зато наклон секущей дается формулой

обозначая, как раньше, операцию образования разности символом мы получим

Наклон секущей есть «разностное отношение» — разность значений функции, деленная на разность значений независимого переменного. Сверх того, имеем наклон предел наклона где пределы вычисляются при при

Касательная к данной кривой имеет наклон, равный пределу разностного отношения при стремлении к нулю.

Первоначальная функция давала значение «высоты» различных точек кривой Предположим теперь, что точка Р движется по кривой Тогда рассматриваемый наклон в точке Р будет представлять некоторую новую функцию от х, которую мы обозначим через и назовем производной от функции

Предельный процесс, с помощью которого получена производная, называется дифференцированием функции Этот процесс есть такая операция, которая по определенному правилу сопоставляет данной функции некоторую другую функцию Подобным же образом при определении самой функции было установлено правило, которое сопоставляло каждому значению переменного х некоторое значение функции Итак:

Слово «дифференцирование» объясняется тем обстоятельством, что есть предел разности (differentia) , деленной на разность

Другим часто употребляемым обозначением является

где символ есть первая буква слова differentia, что значит «разность»; кроме того, для производной от функции существуют еще обозначения Лейбница

Рис. 269. Знак производной

которые мы подвергнем обсуждению в § 4, и намекающие на то, что производная получается как предел разностного отношения или

Условившись в том, что движение по кривой совершается в направлении возрастающих значений мы можем теперь заключить: то обстоятельство, что производная в некоторой точке положительна, означает подъем кривой (значения у возрастают). Напротив, то обстоятельство, что производная отрицательна, означает падение кривой (значения у убывают); наконец, если производная обращается в нуль, то это означает горизонтальное направление кривой для соответствующего значения х. В точках максимума и минимума наклон должен быть равен нулю (рис. 269). Таким образом, решая уравнение

относительно х, мы можем найти положение максимумов и минимумов, как это и было впервые сделано Ферма.