3. Примеры.

Может показаться, что рассуждения, приведшие к определению (1), лишены всякого практического смысла. В самом деле, одна проблема подменена другой: вместо того чтобы искать наклон касательной к кривой в некоторой точке, мы должны вычислять предел (1), что с первого взгляда кажется одинаково трудным. Но, как только мы откажемся от рассмотрении в общем виде и перейдем к отдельным функциям, мы получим весьма реальные результаты.

Простейшей из функций является функция где с — постоянно. График этой функции есть горизонтальная прямая,

совпадающая со всеми своими касательными; очевидно, для всех значений х имеет место соотношение

Это вытекает также и из определения (1); в самом деле,

Таким образом, получаем тривиальный результат:

Вслед за этим рассмотрим простую функцию графиком которой является биссектриса угла первого квадранта. Геометрически ясно, что для всех значений х

а аналитическое определение (1) снова дает

Простейшим нетривиальным примером является дифференцирование функции

что в сущности является нахождением наклона параболы. Это — простейший случай, на котором мы можем учиться совершать переход к пределу, когда результат с первого взгляда не очевиден. Мы имеем

Если бы мы попытались перейти к пределу непосредственно в числителе и в знаменателе, то получили бы не имеющее смысла выражение Но этого затруднения можно избежать, сократив дробь на мешающий

нам множитель до перехода к пределу. (Такое сокращение законно, так как при вычислении предела разностного отношения мы считаем, что стр. 352.) Таким образом мы получаем результат

После сокращения нахождение предела при не представляет уже никаких трудностей. Этот предел получается путем простой «подстановки», так как разностное отношение в своем новом виде непрерывно, а предел непрерывной функции при есть просто значение этой функции при в нашем примере мы получаем непосредственно и, следовательно, если то

Совершенно аналогично мы можем доказать, что в случае функции мы будем иметь . В самом деле, отношение

может быть упрощено по формуле

знаменатель сокращается, и мы получаем непрерывное выражение

При стремлении это выражение стремится к сумме в качестве предела получается выражение

И вообще, для функции

где целое положительное, производная будет иметь вид

Упражнение. Доказать этот результат. (Примените алгебраическую формулу

В качестве следующего примера, позволяющего непосредственно определить производную, рассмотрим функцию

Мы имеем

Сократим опять дробь и тогда получим

— выражение, опять-таки непрерывное в точке в качестве предела мы, следовательно, будем иметь

Само собой разумеется, что в данном случае ни производная, ни сама функция не определены в точке

Упражнение. Доказать аналогичным способом, что функция имеет производную функция - имеет производную ; функция имеет производную

Продифференцируем теперь функцию

В качестве разностного отношения мы получаем:

Воспользовавшись формулой можно сократить знаменатель с первым из множителей и получить выражение, непрерывное в точке

Переход к пределу дает

Упражнения. Доказать, что функция имеет производную Доказать далее: