§ 6. Экстремумы и неравенства

Одной из характерных черт высших разделов математики является та выдающаяся роль, которую в них играют неравенства. В сущности, любая максимальная проблема всегда приводит к неравенству, выражающему тот факт, что рассматриваемая переменная величина не превышает некоторого максимального значения, доставляемого решением этой проблемы. Во многих случаях получаемые таким образом неравенства заслуживают внимания и независимо от экстремальной проблемы, к ним приводящей. В качестве примера мы рассмотрим сейчас важное неравенство, связывающее арифметическое и геометрическое средние.

1. Средние арифметическое и геометрическое двух положительных величин.

Займемся прежде всего очень простой максимальной проблемой, с которой часто приходится встречаться и в самой математике и в ее приложениях. В геометрической формулировке проблема эта заключается в следующем: среди всех прямоугольников с наперед заданным периметром найти тот, который имеет наибольшую площадь. Решением, как нетрудно догадаться, является квадрат. Доказать это можно следующим рассуждением. Пусть заданный периметр равен 2а. Тогда сумма х + у длин двух прилежащих сторон прямоугольника х и у равна постоянной величине а, а в максимум следует обратить произведение «Среднее арифметическое» величин х и у есть не что иное, как выражение

Введем еще величину

причем получатся соотношения

из них вытекает, что

Так как не может быть отрицательно, а обращается в нуль только при то мы немедленно приходим к неравенству

причем знак равенства здесь возможен только при т. е. при

Так как у имеет постоянное значение а, то отсюда следует, что выражение а значит, и интересующая нас площадь принимают наибольшее возможное значение при Выражение

где радикал взят в арифметическом смысле со знаком называется «средним геометрическим» положительных величин х и у; неравенство (1) выражает основное соотношение между средними арифметическим и геометрическим.

Рис. 221. Минимум при заданном значении

Неравенство (1) вытекает также непосредственно из того факта, что выражение

будучи точным квадратом, не может быть отрицательным и обращается в нуль только при

Вот еще геометрический вывод того же неравенства. Рассмотрим в плоскости х, у неподвижную прямую линию и вместе с ней семейство кривых (гипербол) причем с постоянно для каждой кривой, но меняется при переходе от одной кривой к другой. Из рис. 221 ясно, что кривой, имеющей хоть одну общую точку с нашей прямой линией и соответствующей наибольшему значению с, являтся та гипербола, которая касается прямой в точке для этой гиперболы, следовательно, Итак,

Следует заметить, что всякое неравенство вида можно прочесть двумя способами, и потому оно порождает как максимальное, так и минимальное свойства. Например, неравенство (1) выражает также тот факт, что среди всех прямоугольников с данной площадью именно квадрат имеет наименьший периметр.