5. Пределы при итерации.
Нередко приходится рассматривать последовательности, сконструированные таким образом, что 
получается из 
посредством тех же операций, посредством каких 
получается из 
эта процедура позволяет вычислить любой член последовательности, если известен первый. В подобных случаях говорят о процедуре «итерации».
Примером может служить последовательность
каждый член ее получается из предыдущего посредством прибавления единицы и затем извлечения квадратного корня. Таким образом, последовательность определяется соотношениями
Найдем ее предел. Очевидно, что при 
Далее, последовательность наша монотонно возрастает, так как
Раз только 
то значит, 
но 
и потому (с помощью индукции) отсюда следует, что 
при всех значениях 
Мы замечаем дальше, что рассматриваемая последовательность ограниченная; в самом деле,
В силу принципа монотонных последовательностей отсюда вытекает существование предела: 
, причем 
Но видно ясно, что а есть положительный корень уравнения 
действительно, соотношение 
в пределе при 
дает нам 
Решая уравнение, мы убеждаемся, что 
Отсюда, наоборот, легко сделать тот вывод, что это квадратное уравнение можно решать приближенно, с какой угодно степенью точности, посредством итерационной процедуры.
Таким же образом, с помощью итераций, можно решать и другие алгебраические уравнения. Например, кубическое уравнение 
напишем в форме
и затем, взяв в качестве 
произвольное число, скажем 
определим дальше последовательность 
по формуле
при этом получим
Можно показать, что последовательность имеет предел, равный корню данного кубического уравнения, а именно, 
Итерационные процессы в этом роде имеют громадное значение в математике, так как с их помощью большей частью даются «доказательства существования»; они полезны и в приложениях, где доставляют методы приближенного решения разнообразных проблем.
Упражнения на пределы.
(см. скан)
