2. Все числа, допускающие построение, — алгебраические.

Если начальное поле есть рациональное поле (порождаемое единственным отрезком), то все числа, допускающие построение, принадлежат к числу алгебраических. (Определение алгебраических чисел было дано на стр. 139). Именно, числа поля являются корнями квадратных уравнений, числа поля корнями уравнений четвертой степени и вообще числа поля корнями уравнений степени с рациональными коэффициентами. Докажем это сначала для поля причем начнем с примера. Пусть Мы получаем или квадратное уравнение с коэффициентами из Возведение в квадрат приводит к уравнению

четвертой степени с рациональными коэффициентами.

В общем случае любое число поля имеет вид

где принадлежат полю и, значит, имеют вид где рациональные числа. Из равенства (4) мы получаем

причем все коэффициенты принадлежат полю порождаемому величиной Поэтому последнее равенство можно переписать а виде

где коэффициенты рациональные. Возводя в квадрат, получим уравнение четвертой степени

с рациональными коэффициентами, как и требовалось.

Упражнения.

(см. скан)

Упражнение. Закончите это общее доказательство, применяя метод математической индукции: докажите, что х удовлетворяет уравнению степени 21 с коэффициентами из поля При получается окончательный результат.