4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данного круга с помощью одного циркуля.
После того как мы научились находить точку, обратную данной, можно с помощью одного циркуля выполнить дальнейшие интересные построения. Например, сейчас мы найдем середину отрезка, концы которого 
заданы, с помощью одного циркуля — не проводя самого отрезка. Вот решение этой задачи. Опишем окружность радиусом 
с центром В и на нем, отправляясь от А, как раньше, отмерим последовательно три дуги радиусом 
Последняя точка С будет лежать на прямой 
причем мы будем иметь: 
Затем опишем окружность радиуса 
с центром А и построим точку С, обратную точке С относительно этой окружности. Тогда получим:
Значит, С есть искомая середина отрезка.
Рис. 44. Нахождение середины отрезка
Рис. 45. Нахождение центра круга
Другое построение с помощью одного циркуля, также использующее обратные точки, заключается в нахождении центра данной окружности, когда начерчена только сама окружность, а центр не известен. Берем произвольную точку Р на окружности и около нее, как центра, описываем круг произвольного радиуса, пересекающийся с данным кругом в точках 
Из этих последних точек, как центров, описываем дуги радиусом 
пересекающиеся, кроме точки Р,
Сравнивая то, что получилось, с рис. 41, мы видим, что неизвестный центр 
есть точка, обратная точке 
относительно окружности с центром Р, и 
может быть, как мы видели, построена с помощью одного циркуля.
