3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой.

Оторвав аналитическое представление интеграла от его первоначальной геометрической интерпретации, мы встречаемся с целым рядом других, не менее важных интерпретаций и приложений этого основного понятия. Например, в механике интеграл может быть

интерпретирован как выражение работы. Достаточно будет разъяснить это на следующем простом примере. Предположим, что некоторая масса движется по оси под влиянием силы, направленной вдоль этой оси. Будем считать, что вся масса сосредоточена в одной точке с координатой х и что сила задана как функция этой точки причем знак функции указывает на направление силы. Если сила постоянна и передвигает массу из точки а в точку 6, то работа, произведенная ею, равна произведению величины силы на пройденный массой путь: Но если сила меняется вместе с изменением то придется определять общую произведенную работу с помощью предельного процесса (подобно тому, как мы прежде определяли скорость). Для этой цели мы разобьем промежуток от а до b, как и прежде, на мелкие частные промежутки точками затем предположим, что в каждом частном промежутке сила остается постоянной и равной, скажем, величине истинному значению силы в конечной точке, и вычислим работу, соответствующую такой «ступенчатой» силе,

Если мы теперь, как раньше, станем уменьшать промежутки деления, заставляя неограниченно расти, мы увидим, что сумма будет стремиться к интегралу

Таким образом, работа, совершаемая непрерывно меняющейся силой, определена с помощью интеграла.

В частности, рассмотрим массу связанную с началом координат упругой пружиной. Сила согласно рассуждению на стр. 524, будет пропорциональна

где положительная постоянная. Тогда работа, совершенная этой силой при перемещении массы из начала координат в точку выразится интегралом

Рис. 286. К определению длины дуги

а работа, которую мы сами должны затратить при растяжении пружины до точки равна

Другое приложение общего понятия интеграла — это вычисление длины дуги кривой. Предположим, что рассматриваемая часть кривой представлена функцией производная которой также непрерывная функция. Для того чтобы определить длину, мы будем действовать точно так, как если бы нам надо было измерить длину кривой для практических целей при помощи линейки с делениями. Впишем в дугу ломаную линию с маленькими сторонами, измерим общую длину (периметр) этой ломаной и станем рассматривать эту длину как некоторое приближение; заставим возрастать, а наибольшую из сторон ломаной — стремиться к нулю; тогда мы получим в качестве длины дуги следующий предел:

(В главе VI этим же способом была получена длина окружности как предел периметра вписанного правильного -угольника.) Можно доказать, что для достаточно гладких кривых этот предел существует и не зависит от того, каким образом выбирается последовательность вписанных ломаных. Те кривые, для которых это имеет место, называются спрямляемыми. Всякая «порядочная» кривая, встречающаяся в теории или ее приложениях, оказывается спрямляемой, и мы не станем углубляться в исследование «патологических» случаев. Достаточно будет показать, что дуга для функции с непрерывной производной имеет длину в указанном смысле и что длина может быть выражена с помощью интеграла.

С этой целью обозначим абсциссы точек соответственно через а и b, затем разобьем промежуток от а до b, как и прежде, точками с разностями и рассмотрим ломаную линию с вершинами расположенными над точками деления. Длина одной из сторон ломаной выразится формулой

Отсюда для общей длины ломаной линии получается выражение

Если заставить теперь стремиться к бесконечности, то разностное отношение будет стремиться к производной и мы получим для длины интегральное выражение

Не вдаваясь в дальнейшие подробности этих теоретических рассуждений, мы сделаем два дополнительных замечания. Во-первых, если точку В считать подвижной точкой на данной кривой с абсциссой х, то становится функцией переменного х, и, согласно основной теореме, мы имеем формулу

которую часто приходится применять. Во-вторых, хотя формула (2) и дает «общее» решение задачи нахождения длины дуги, все же она редко позволяет найти явное выражение этой длины в отдельных частных случаях. В самом деле, чтобы получить числовое значение длины дуги, мы должны подставить данную функцию или, точнее, в формулу (2) и тогда осуществить фактическое интегрирование полученного выражения. Но здесь возникают, вообще говоря, непреодолимые трудности, если мы ограничим себя областью элементарных функций, рассмотренных в этой книге. Укажем небольшое число случаев, для которых интегрирование возможно. Функция

имеет графиком единичный круг; для нее мы получаем

следовательно, длина дуги окружности выражается интегралом

Для случая параболы мы имеем а длина дуги от до равна

Для кривой мы имеем и длина дуги выражается интегралом

Мы удовольствуемся лишь простым написанием этих интегральных выражений. Их можно было бы вычислить, применяя несколько более развитую технику интегрирования, чем та, которая имеется в нашем распоряжении, но мы не пойдем дальше в этом направлении.