Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Дифференциальное и интегральное исчисления

105. Составьте производные от функций исходя непосредственно из определения, затем преобразовывая разностное отношение таким образом, чтобы не представило труда вычислить предел при (см. стр. 474-477).

106. Докажите, что функция с дополнительным условием при имеет производные всех порядков, равные нулю, в точке

107. Установите, что функция упражнения 106 не разлагается в ряд Тейлора в точке (см. стр. 540).

108. Найти точки перегиба кривых

109. Покажите, что если полином с различными корнями то

110. Исходя из определения интеграла как предела суммы, доказать, что при

111. Таким же образом доказать, что

112. Нарисуйте рис. 276 на клетчатой бумаге в крупном масштабе и затем, подсчитывая маленькие квадратики, попадающие в заштрихованную область, найдите приближенное значение

113. Воспользуйтесь формулой (7) на стр. 499, чтобы вычислить с погрешностью, не превышающей 0,01.

114. Докажите, что (см. стр. 542).

115. Данная замкнутая кривая увеличивается, расширяясь в отношении Пусть обозначают длину расширенной кривой и ограниченную ею площадь. Покажите, что и что даже при если Проверьте это для окружности, квадрата и эллипса. (Площадь более высокого порядка возрастания, чем длина кривой. См. стр. 532 и дальше.)

116. Показательная функция часто встречается в следующих комбинациях:

называемых соответственно гиперболическим синусом, гиперболическим косинусом и гиперболическим тангенсом. Эти функции обладают многими свойствами, напоминающими свойства тригонометрических функций. Они связаны с гиперболой так же, как тригонометрические функции связаны с окружностью Читателю предлагается проверить следующие формулы и сопоставить их с тригонометрическими формулами:

Обратные функции таковы:

Их производные имеют вид

117. Уясните себе аналогию между гиперболическими и тригонометрическими функциями на основе формулы Эйлера.

118. Выведите простые формулы для сумм

и

аналогично формулам, выведенным в упражнении 14 в случае тригонометрических функций.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление