Дифференциальное и интегральное исчисления
105. Составьте производные от функций 
исходя непосредственно из определения, затем преобразовывая разностное отношение таким образом, чтобы не представило труда вычислить предел при 
(см. стр. 474-477).
106. Докажите, что функция 
с дополнительным условием 
при 
имеет производные всех порядков, равные нулю, в точке 
107. Установите, что функция упражнения 106 не разлагается в ряд Тейлора в точке 
(см. стр. 540).
108. Найти точки перегиба 
кривых
109. Покажите, что если 
полином с 
различными корнями 
то
110. Исходя из определения интеграла как предела суммы, доказать, что при 
111. Таким же образом доказать, что
112. Нарисуйте рис. 276 на клетчатой бумаге в крупном масштабе и затем, подсчитывая маленькие квадратики, попадающие в заштрихованную область, найдите приближенное значение 
113. Воспользуйтесь формулой (7) на стр. 499, чтобы вычислить 
с погрешностью, не превышающей 0,01.
114. Докажите, что 
(см. стр. 542).
115. Данная замкнутая кривая увеличивается, расширяясь в отношении 
Пусть 
обозначают длину расширенной кривой и ограниченную ею площадь. Покажите, что 
и что даже 
при 
если 
Проверьте это для окружности, квадрата и эллипса. (Площадь более высокого порядка возрастания, чем длина кривой. См. стр. 532 и дальше.)
116. Показательная функция часто встречается в следующих комбинациях:
называемых соответственно гиперболическим синусом, гиперболическим косинусом и гиперболическим тангенсом. Эти функции обладают многими свойствами, напоминающими свойства тригонометрических функций. Они связаны с гиперболой 
так же, как тригонометрические функции 
связаны с окружностью 
Читателю предлагается проверить следующие формулы и сопоставить их с тригонометрическими формулами:
Обратные функции таковы:
Их производные имеют вид
117. Уясните себе аналогию между гиперболическими и тригонометрическими функциями на основе формулы Эйлера.
118. Выведите простые формулы для сумм
и
аналогично формулам, выведенным в упражнении 14 в случае тригонометрических функций.
