4. Примеры интегрирования. Интегрирование x^r.

До сих пор наши рассуждения об интеграле были чисто теоретическими. Возникает основной вопрос по поводу рассмотренного построения сумм по общей установленной схеме и последующего перехода к пределу: ведет ли эта процедура к каким-либо осязательным результатам в отдельных конкретных случаях? Конечно, решение этого вопроса потребует некоторых дополнительных рассуждений, приспособленных к тем специальным функциям от которых нужно найти интеграл.

Когда Архимед две тысячи лет тому назад вычислил площадь параболического сегмента, он выполнил то, что мы теперь называем интегрированием функции притом чрезвычайно остроумным способом; в XVII столетии предшественники Ньютона и Лейбница успешно решили проблему интегрирования таких простых функций, как опять-таки с помощью специальных приемов. Только после

рассмотрения большого числа конкретных примеров был найден общий подход к проблеме интегрирования на основе систематического метода, и таким образом область разрешимых задач была сильно расширена. В настоящей главе мы рассмотрим небольшое число отдельных конструктивных задач, принадлежащих к эпохе «праанализа», так как для операции интегрирования, понимаемой как предельный процесс, лучшей иллюстрации не придумаешь.

а) Начнем с совершенно тривиального примера. Если является константой, например, то, очевидно, интеграл понимаемый как площадь, равен а), поскольку площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту. Сравним этот результат с определенным интегралом. Если в формуле (5) мы подставим для всех значений то при любом значении найдем, что

в самом деле,

Рис. 263. Площадь трапеции

Ь) Почти так же просто проинтегрировать функцию В этом примере интеграл является площадью трапеции (рис. 263), следовательно, согласно элементарной геометрии выразится формулой

Этот же результат получается и из определения интеграла (6), в чем можно убедиться фактическим переходом к пределу без обращения к геометрическому представлению: если мы в формуле (5) положим то сумма примет вид

Применяя формулу (1) для суммы арифметической прогрессии выведенную на стр. 38, мы получим

и так как

то отсюда следует

Пусть теперь стремится к бесконечности; тогда переход к пределу даст результат

в полном соответствии с геометрической интерпретацией интеграла как площади.

Рис. 264. Площадь под параболой

с) Менее тривиальным является интегрирование функции Архимед употребил геометрический метод при решении эквивалентной задачи — нахождении площади сегмента параболы Здесь мы будем действовать аналитически, базируясь на определении (6а). Чтобы упростить формальные выкладки, в качестве «нижнего предела» интеграла а выберем 0; тогда Так как то для суммы мы получим выражение

Теперь можно фактически вычислить предел. Применяя формулу

установленную на стр. 40, и заменяя через мы получим

Это предварительное преобразование облегчает предельный переход: при неограниченном возрастании обратная величина А стремится к нулю, и потому в качестве предела получается просто следовательно, окончательный результат имеет вид

Применяя этот результат к площади от 0 до а, получим

наконец, вычитание площадей дает

Упражнение. Тем же способом, употребляя формулу (5) на стр. 41, доказать, что

Применяя общие формулы для сумм степеней целых чисел от 1 до можно было бы получить результат

при любом целом положительном значении к.

Вместо того чтобы действовать этим путем, мы можем получить несколько проще даже более общий результат, воспользовавшись сделанным раньше замечанием о возможности вычислить интеграл и при неравностоящих точках деления. Мы выведем формулу (7) не только для любого целого положительного к, но и для любого положительного или отрицательного рационального числа

где целое положительное, целое положительное или отрицательное число. Исключается только значение при котором формула (7) теряет смысл. Предположим также, что

Чтобы получить формулу (7), построим сумму выбирая точки деления в геометрической прогрессии. Положим так что и определим: При таком выборе значений как мы увидим, предельный переход совершается особенно просто. Поскольку мы будем иметь выражение

Так как каждый член содержит множители , то можно написать

Подставляя вместо видим, что выражение в скобках является геометрической прогрессией сумма которой, как показано на стр. 39, равна Но

Таким образом,

До сих пор было фиксированным числом. Пусть теперь возрастает; определим тогда предел, к которому стремится При возрастании корень стремится к 1 (см. стр. 373); поэтому и числитель, и знаменатель выражения стремятся к нулю, что побуждает к осторожности.

Предположим сначала, что к — целое положительное число, тогда можно осуществить деление на и мы получим (см. стр. Если теперь возрастает, так что стремится к 1, а следовательно, и также стремятся к 1, то стремится к к Но из этого вытекает, что стремится к что и требовалось доказать.

Упражнение. Доказать, что при любом рациональном к остается в силе та же самая предельная формула а следовательно, сохраняется и результат (7). Сначала дать доказательство, следуя нашему образцу, в предположении, что к целое отрицательное. Затем, если положить откуда следует

Если возрастает, так что стремятся к 1, то отношения в последней части равенства стремятся соответственно к и и к V, что в качестве предела для снова дает

В § 5 мы увидим, каким образом с помощью мощных методов анализа можно упростить это длинное и несколько искусственное рассуждение.

Упражнения.

(см. скан)

(см. скан)