3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии.

Как мы видели в предыдущем пункте, иногда случается, что некоторое рациональное число бывает приближаемо последовательностью других рациональных чисел причем индекс принимает последовательно

все значения Так, например, можно взять: и притом Вот еще пример. Разобьем единичный интервал на две равные части, вторую половину — снова на две равные части, вторую из полученных двух частей — снова на две равные части и т.д., пока наименьший из полученных таким образом интервалов не станет равным где сколь угодно большое наперед заданное число, например, Затем, складывая вместе все интервалы, кроме самого последнего, мы получаем общую длину

Легко понять, что отличается от 1 на и что эта разность становится сколь угодно малой, или «стремится к нулю», при неограниченном возрастании Говорить, что эта разность равна нулю, когда равно «бесконечности», — не имеет никакого смысла. Бесконечное в математике связывается с некоторым процессом, не имеющим конца, и никогда не связывается с актуальной величиной. Желая описать поведение мы говорим, что сумма стремится к пределу 1, когда стремится к бесконечности, и пишем

причем то, что возникает справа, есть бесконечный ряд. Последнее «равенство» не следует понимать в том смысле, что имеется в виду сложить вместе бесконечное число слагаемых: это только сокращенная запись того факта, что 1 есть предел конечных сумм получающийся, когда стремится к бесконечности (и ни в коем случае не равно бесконечности). Итак, равенство (4), заканчивающееся неопределенным символом как бы стенографирует некоторую точную мысль, выражаемую, по неизбежности, длинным рядом слов:

«1 равна пределу (при стремящемся к бесконечности) выражения

Еще более кратко и более выразительно пишут следующим образом:

Говоря о пределах, рассмотрим еще пример. Пусть перед нами имеется бесконечная последовательность различных степеней числа

Если — например, или то стремится к нулю при неограниченном возрастании При этом, если отрицательное число, то знаки чередуются: за следует и обратно; таким образом, стремится к нулю «с двух сторон». Так, если то если Мы утверждаем, что предел когда стремится к бесконечности, равен нулю, или, символически,

(Между прочим, если или то уже не стремится к нулю, а неограниченно возрастает по абсолютному значению.)

Приведем строгое доказательство утверждения (7). Мы видели на стр. 42, что при любом целом положительном значении и при условии имеет место неравенство пр. Пусть какое-то положительное число, меньшее единицы, например, Тогда можно положить где Отсюда следует:

или же (см. определение 4 на стр. 84)

Значит, заключено между постоянным числом 0 и числом которое стремится к нулю при неограниченном возрастании (так как постоянное). После этого ясно, что Если отрицательное число, то мы положим и тогда будет заключено между числами рассуждение заканчивается так же, как раньше. Рассмотрим теперь геометрическую прогрессию

(Случай был рассмотрен выше.) Как уже было показано (см. стр. 39), сумма может быть представлена в более простой и сжатой форме. Умножая на мы получаем

и, вычитая из (8), убеждаемся, что все члены, кроме взаимно уничтожаются. В результате будем иметь

или же, деля на

С понятием предела мы повстречаемся, если заставим неограниченно возрастать. Мы видели только что, что стремится к нулю, если — и отсюда можем заключить:

Тот же результат можно записать, пользуясь бесконечным рядом

Например,

в полном соответствии с равенством (4); подобным же образом

или, иначе, Совершенно так же конечная дробь 0,2374 и бесконечная дробь представляют одно и то же число.

В главе VI мы вернемся к общему обсуждению понятия предела, рассматривая вопрос с современной, логически более строгой точки зрения.

Упражнения.

(см. скан)